[精品]浅谈反证法在数学分析

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1、浅谈反证法在数学分析中的应用作者张晓数学与应用数学专业2003级专升木指导教师陈怀堂数学系教授摘要：数学问题千变万化，不可能用一种或儿种方法全部解决！在众多的数学方法中，反证法是数学证明中的-•种重要工具•反证法是一种间接的证明方法，它的基本思想是“否定-推理-矛盾-肯定”•反证法丿力史悠久，曾被用來解决数学小许多重要结论•要能熟练掌握一种解题方法，仅仅满足于会用这种方法解个别题hl是不够的，还要在解题的证明中注意积累经验，总结规律，解决何时可以用这种方法来解决的问题，这冇利于进一步加深对这种解题的方法实质的理解.!词：反证法；有界性：否定词分类号：017Abstract:Thema

2、thematicalproblemischangeable・1(isimpossibletosolveallproblemsbyoneorseveralkindsofmethods!Innumerousmathematicalmethods,reductiontoabsurdityisasortofimportanttoolinmathematics.Reductiontoabsurdityisasortofindirectmethodforprovingpropositions.ItsbasicprincipleisMdenial-consequence-contradiction

3、-affirmationn.Reductiontoabsurdityhasalonghistory,whichiseverusedforsolvingalotofimportantproblemsinmathematics.Inordertomasteramethodforsolvingakindofproblem,itisinsufficienttolearnsuchamethodforsolvingoneortwoproblems・Youshouldpayspecialattentiontoaccumulatingexperiences,summinguprules,andkno

4、wingwhenyoucanusethismethodtosolvetheproblem.Itisusefulforyoutodeepentheunderstandingoftheessentialofthemethod・Keywords:reductiontoabsurdity;bound;denialCategorynumber:0171反证法的基本思想反证法是一种间接的证明方法，它的基木思想是“否定-推理-孑盾-肯定”,这种证明方法之所以令学生难以理解，是因为在证明过程屮，每一步的结论到下一步完全符合逻辑，但毎一步的结论却其实不能发生，从逻辑的观点来看，反证法实际上是通过证明与

5、命题A^B逻辑等价的命题为真，从而间接证明了命题A^B，显然这个等价命题的条件屮含有命题AtB的结论的否定万，反证法历史悠久，曾被用来解决数学中许多重要结论.2怎样正确否定数学分析中的一些命题在运用反证法论证命题时，首先耍求能很正确的否定命题的结论，这是正确证明命题的基础，在有些情况下，一个结论的否定往往很容易得到•例如命题“lima”\mbn”，但对命题“于在D上有界”,/I—XO"TS/?->00尽管其否定很显然就是“于在D上无界”，若耍用它做进一步推理时，还需耍对函数有界与无界的定义深刻的认识，所谓“/在D上有界”是指“存在某个正数M,对所

6、有的xeD,使得

7、.f(x)

8、成立”，这类命题中出现了量词“对所有的”和“存在”，要写岀它们的否定形式相对就比较困难了•一般地，命题中若出现量词“对所有的”或“存在”吋，其否定形式必须将“对所冇的”变成“存在”，“存在”变成“对所有的”，并否定“这件事情发生”.于是，要将命题“/在Q上有界”否定，其形式应为“对所有的正数M,存在xeD,使得fM

9、,使得V满足：O<

10、x-xo

11、<»,有

12、/(兀)—,其否定形式为北0>O,VJ>0,m满足0<

13、x-x0

14、<別勺兀<

15、/(x)一恥％”命题“/在/上一致连续”，即“比>0,”>0,使得0坷,x2g/,只要一兀21v5,有

16、.f(山)-f(x2)

17、v£”,其否定形式为“五°〉0,X/5〉0,北,勺w人尽管满足1“一勺

18、v&但

19、/(歼)一/也)

20、»勺3数学分析中几类常用反证法的证明要能熟练掌握一种解题方法，仅仅满足于会用这种方法解个别题口是不够的，还要在解题的