数学分析中反证法的应用

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1、丽水学院2012届学生毕业论文数学分析中反证法的应用理学院数学082董泽刚指导师：胡亚红摘要：本文研究了数学分析中不同问题的反证法。对数学分析中的反证法进行总结研究，共分为数列极限的唯一性和收敛性，函数的连续、有界、极限和单调性，导数和积分，级数等四个部分，各部分之间并非完全独立。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处。关键词：反证法；命题；应用在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干

2、脆。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的。反证法在数学的发展中功不可没。反证法不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反证法.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反证法作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反证法去证实，并从反证法中得到修补的启示。反证法是一种重要的反证手段，往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反证法是一种重要的数学技能。反证法的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反证法。至于反证法

3、的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。1反证法的基本思想反证法是一种间接的证明方法，它的基本思想是“否定-推理-矛盾-肯定”，这种证明方法之所以令学生难以理解，是因为在证明过程中，每一步的结论到下一步完全符合逻辑，但每一步的结论却其实不能发生，从逻辑的观点来看，反证法实际上是通过证明与命题逻辑等价的命题为真，从而间接证明了命题，显然这个等价命题的条件中含有命题的结论的否定，反证法历史悠久，曾被用来解决数学中许多重要结论.所谓反证法是指通过证明论题的否定论题不真实而肯定论题真实的方法.通常包括以下三个步骤:(l)反设—假定原命题的结论不成立；(2)归谬

4、—根据反设进行严密推理，直到得出矛盾；(3)结论—肯定原命题正确。一般来说，如果命题的结论不易直接证明，结论的反面却容易否定，那么反证法是可行的。但是由于数学命题的多样性、复杂性，要对哪些命题14丽水学院2012届学生毕业论文宜用反证法做出确切的回答是困难的。2怎样正确写出数学分析中一些命题的否命题反证法是分析问题和解决问题的一种科学方法,它是通过证明与论题相矛盾的反正题虚假,来确定论题是正确的间接证明法。在应用反证法时,首先要假设,即假定原命题的反面正确,然后从假设出发,利用正确的逻辑推理推导出谬误的结果,即从反设出发作为推论引出违背科学的基本规律(定

5、律或概念)与已知条件相矛盾的结果,最后肯定原结论正确。在运用反证法论证命题时，首先要求能很正确的否定命题的结论，这是正确证明命题的基础，在有些情况下，一个结论的否定往往很容易得到。例如命题“”的否定就是“”，但对命题“在上有界”，尽管其否定很显然就是“在上无界”，若要用它做进一步推理时，还需要对函数有界与无界的定义深刻的认识，所谓“在上有界”是指“存在某个正数，对所有的，使得成立”，这类命题中出现了量词“对所有的”和“存在”，要写出它们的否定形式相对就比较困难了.一般地，命题中若出现量词“对所有的”或“存在”时，其否定形式必须将“对所有的”变成“存在”，

6、“存在”变成“对所有的”，并否定“这件事情发生”。于是，要将命题“在上有界”否定，其形式应为“对所有的正数，存在，使得成立”。在数列中的否定：一个数列{}收敛于a的数学表述为：

7、-a

8、<,于是知道{}不收敛于a的数学表述为：：

9、-a

10、,而对于函数的一致连续，例如，在X上一致连续的数学表述为：所以函数在X上不一致连续的数学表述为：在数学分析中，运用这种方法来否定一个命题是屡见不鲜的。由于在数学中经常用符号“”作为“对所有的”这些词的简写，用符号“”作为“存在”一词的简写，所以下面我们将用符号来说明：命题“”，14丽水学院2012届学生毕业论文即“”。其否定

11、形式为”命题“在上一致连续”，即“”。其否定形式为“”具体命题的证明是培养各种思维能力的主要渠道，怎样的命题宜用反证法进行证明，这还需要不断的探索和总结。3数学分析中经常遇到的几类问题用反证法的证明要能熟练掌握一种解题方法，仅仅满足于会用这种方法解个别题目是不够的，还要在解题的证明中注意积累经验，总结规律，解决何时可以用这种方法来解决的问题，这有利于进一步加深对这种解题的方法实质的理解。下面就数学分析中几类常见的运用反证法证明的命题类型，举例说明反证法的应用。下面从数列的极限及收敛性；函数的极限、连续性、有界及单调性；导数及其积分以及级数中的命题结论的特

12、征出发，辅之以具体例，介绍反证法的应用以及它的特点，证明简短而又有力。3.1数列