谈数学中反证法的应用

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1、2007年第46卷第8期数学通报谈数学中“反证法”的应用王晓东(河南淮阳职业技术学院数学信息工程系457000)反证法是一种重要的证明方法，尤其在数学证2否定性命题明中.反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一例3设平面上有六个圆，每个圆的圆心都在性等一些不易直接下手的命题.其余各圆的外部.试证明:平面上任一点都不会同要证命题“若A则B”正确(简记为A=>B)，途时在这六个圆的内部.径之一是证与其等价的逆否命题(简记为，B冷破)分析直接证明某点在哪些圆的内部，在哪些正确.即从否定B出发，作出一系列正确、严密、合圆的外部，无法办到，故用反证法.乎逻辑

2、的推理，最后推出与A矛盾的结论，即原命证明假设平面内题得证.用反证法证明命题成立的基本步骤可以简有一点M同时在这六个单地概括为“否定一推理一反驳一肯定”四个步圆的内部.为了方便，我骤.们把绕M的六个圆心从1存在性命题某个开始按顺时针方向例1证明任何大于1的整数一定有素因子.分别记为A』、C、D、E、分析用反证法，首先要找出问题的否定形F.式，即否命题.本题结论的反面是:至少存在一个大连结加风六田决t济田、彻困弄吓，.于1的整数没有素因子，我们设法导出矛盾.考虑△A彻旧，M在OA内，B在OA外，证明假设有一个大于1的整数A没有素因所以有A刀>AM，同

3、理汤刀>月讨，子，则A本身一定不是素数，又A>1，故A为合数，即在△AMB中，AB大于其他两边.则它一定有一个异于1和A的真因子B，故而A>B由“大边对大角”知，艺AMB>艺月刀M.同理，>1，且B也不是素数(否则B为A的素因子)，同理艺AMB>匕a今何.B又有一个素因子C，满足A>B>C>1，且C亦所以3匕J叭寸B>艺月刀M+匕川达B+匕月八M不为素数，由此我们得到A>B>C>D>⋯>1，二1800，也就是说，在A和1之间有无穷多个正整数，这当然所以艺J组过6>600.是不可能的.故而假设不成立，原命题获证.同理艺曰改二、艺。江)、艺工入扭、匕五

4、MF、艺几工A例2证明:A，B，C，D，E五数之和等于5，则均大于600.其中必有一个不小于1.所以匕月MB+艺月入江二+乙()吐D+之DM五+分析这个问题看上去很简单，但是要直接证匕EMF+匕万翔叭>3600.明却不容易.那么应用反证法，就可以轻松获证.但是，很显然，这六个角围成了一个周角，它们证明假设A，B，C，D，E都小于1，那么A十B的和不可能大于360。，出现矛盾，故而假设不正确，+C+D+E

5、戏者每次可以更即原命题是正确的.换同一行或同一列三个棋子的颜色，白的换成黑的，黑的换成白的。试证明:不可能通过有限次换色万方数据数学通报2007年第46卷第8期使之变成右图的形式.xl、x:(x并二2)，于是xl=Sinx:+a，xZ=Sinx:+a两式相减再化积得:OO...OABABxl+x:.x:一xZXl一XZ=乙cos一了一’5，n一万-一O.OO..CDCDXl一XZ因为1，in三1于止全1<1乙12O.O..Oxl+xZ所以}xl一xZ}=2}cos2证明假设左图能通过有限次换色变为右图，.x，一xZ!_。}xl+xZXl一XZ不妨设

6、第1、2、3行棋子分别实行了从、城、从次变5‘n一万一}久乙}cUS22换，第1、2、3列棋子分别实行了凡、从、凡次变换，显xl十及即}Xl一工2然每个棋子都是既接受行的变换，又接受了列的变换，xl一xZI<一cos2于是:棋子A经从+凡次变色，由白变黑;棋子B经因为lxl一xZ}>0，从+从次变色，由白变黑;棋子C经城+NI次变色，x，+xZ所以>1这是不可能的.2保持白色;棋子D经从+从次变色，由白变黑.所以原方程的解是唯一的.这样，A、B、C、D四个棋子一共经过了(Ml+Nl)+(MI+从)+(城+Nl)+(从+从)=例7试证明:在平面上所有

7、通过点(招，0)的2(从十城+凡+从)次变色，显然这是个偶数.但直线中，至少通过两个有理点(有理点指坐标x、y从图中可以看出，A、B、C、D四个棋子所经过的总均为有理数的点)的直线有且只有一条.的变色次数只能是奇数(因为偶数次的操作绝不可证明(1)存在性:直线y=0，显然通过点能把4个白子变成1白3黑)，这矛盾说明题目中所洒，0)，且直线y=0至少通过两个有理点，例如它讲的换色是不可能的.通过(0，0)和(1，0).这说明满足条件的直线有一条.还有一些命题，也适合用反证法证明，如:(2)唯一性:假设除了直线y二0外还存在一条例5已知空间四点A、B、

8、C、D不在同一个平直线y一版+b(k共。或b笋0)通过点(存，0)，且面内，求证:直线月B和CD既不相交也不平行.该直线通