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1、浅淡反证法在数学中的应用1、相关定义1.1、数学概念认知中的迁移概念是思维的基本单位,是反映客观对象一般本质属性的思维形式[1]。通过概念人们可以简化、概括复杂的事物或者对其进行分类反映。概念依事物的共同属性对其进行分类,依其属性的差异对其进行区别。因此,概念的形成可以帮助学生理清事物与事物之间的种属、相对关系。数学概念是数学教与学的起点,数学研究的对象也是通过概念来确定,离开了概念,数学便不再被称为数学了。在知识体系中,概念的学习也是命题等陈述性知识的基础,命题是由概念组成的。鉴于数学概念在数学知识体系中的奠基性,笔者以概念为例对数学陈
2、述性知识认知过程中产生的迁移进行探究。4.1.1概念的认知模式概念的认知分为四个阶段,即概念获得-知觉水平应用-概念表征-思维水平的应用。(一)概念的获得概念获得即就是对某一类事物的共同本质属性的理解,主要是通过概念的形成和概念的同化这两种基本形式获得。概念的形成,主要是以归纳的方式来获得概念的本质属性,通过分析、感知、比较和抽象若干不同例子,来概括出该类事物的本质属性[3]。以概念形成方式的概念获得主要是以原有的知识经验为基础,通过对实例进行概念的获得知觉水平的应用概念表征思维水平的应用概念同化概念形成11分析归纳、抽象以概括出其中的共
3、同本质属性,经过反复的修改、验证以得到一个确切的定义。如幂函数概念授课中:y=x,y=x2,y=x,y=x?1y=x3,y=3x,y=x4通过以上实例让学生分析比较、概括归纳出幂函数的一般模式y=xa。再如导数概念的引入,通过大量实例的分析经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵,通过对实例的抽象、概括、总结等方式找出其共同属性,形成对概念的理解。基于学生直接认识与直接经验形成的概念多数适合于低年级学生概念的学习或者”原始概念”的学习,因为原始概念大多是对具体事物性质的
4、直接概括。概念的同化,基于原有认知结构对新概念进行加工,并与认知结构中的适当观念建立联系,通过新旧概念的相互作用,扩大了原有认知结构,这一过程称为同化。在教学中利用学生已有的知识经验,以定义的方式直接提出概念,并揭露其本质属性,由学生主动地与元认知结构中的有关概念相联系去学习和掌握概念的方式,叫做概念的同化[4]。如二次函数概念的学习,首先揭示其本质属性,y=ax2+bx+c,(a.b.c是常数,a≠0)那么y叫做x的二次函数。其次,讨论特例,列出y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等函数关系。再次,联系旧有概念,使新概念与原有认
5、知结构中有关观念建立联系,使其纳入到已有的概念体系中,同化新概念,把二次函数和一次函数、函数、正反比例函数等联系起来,把二次函数纳入到函数概念体系中。比较分析概念获得过程中产生的迁移主要表现在:第一,在概念的形成过程中,学生原有的经验对新概念获得产生影响。在概念的形成过程中,原有认知经验对新概念的形成起着重要的作用,学生在学习直线的平行、相交,平面的平行、相交等知识时,总会在日常生活中寻找原型,譬如矩形黑板的上下两条边是平行的、教室的左右两面墙是平行的,通过这样的方式激发学生的学习兴趣,便于学生对概念的理解。这种先前的知识原型以及生活经验
6、在新概念学习中产生的迁移是原始概念学习过程中的固有现象。然而,由于生活经验的宽泛不严谨、意义泛化等非科学性,不利于学生形成严谨的科学概念,学生会将生活经验的不严谨性迁移到新概念的行程中,如数学中直的线是两端无限延伸,不可度量的;平面也是向四个方向无限延伸的,而学生所联想的实例却是可以12度量的。因此,教育工作者在以生活实例引入概念的时候应关注所选实例的内涵与外延,避免学生将科学概念的内涵与外延因生活经验的不严谨性而进行扩大或缩小。生活经验在概念学习过程中是一把双刃剑。一方面,密切联系学生的实际生活能够激发学生的学习兴趣,便于对概念的理解;
7、另一方面,由于生活经验的不严谨、意义泛化等不利于学生形成严谨的科学概念。第二,在概念同化过程中,先前的基础概念模式对新概念学习的影响。概念的同化与概念形成的区别在于概念的形成是从实例中归纳总结得出,依赖于学生的直接经验,以形成方式获得的概念是与学生原有认知结构中的概念相并列,并非上下或者包含关系。而概念的同化则是以学生认知结构中的已有概念为基础,新概念的掌握是对原有认知结构的扩充,在授课形式上,概念形成表现出与布鲁纳的”发现法”一致。而概念同化则表现为与奥苏贝尔所倡导的”有意义地接受学习”方法一致,依赖于学生已有认知结构中的概念模式。也就
8、是说,已有认知结构中的概念模式对新概念的学习产生了迁移。概念同化的三种基本形式:下位学习、上位学习、组合学习,概念同化的三种基本形式,也是我们同化概念学习时迁移产生的三种途径。下位迁移:是基于
