第18讲 取整计算

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1、第18讲取整计算　　任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真分数）两部分。在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。比如，做得到正确答案是2件。为了方便，我们引进符号［］：　　［a］表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一种运算，叫取整运算。显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b，　　（1）［a］≤a；　　（2）a≤［a］＋1；　　（3）［a］＋［b］≤［a＋b］；　　（4）若a≤b，则［a］≤［b］；　　（5）若n是整数，则［a＋n］=［a］＋n。　　同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。　　

2、例1计算［13÷［π］×4］。　　　　例21000以内有多少个数能被7整除？　　例3求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。第19讲近似值与估算　　在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。　　用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数

3、的主要方法有：　　（1）四舍五入法。四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。（2）去尾法。把尾数全部舍去。例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.39。　　（3）收尾法（进一法）。把尾数舍去后，在它的前一位加上1。例如：7.3964…，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。在上面的

4、三种方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。例1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26.9。那么，精确到小数点后两位数是多少？分析与解：13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。由题意知，26.85≤平均值＜26.95，所以13个数之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。　　26.85×13＝349.05，　　26.95×13＝350.35。　　因为在349.05与350.35之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。　　350÷13＝26.923…　

5、　当精确到小数点后两位数时，是26.92。　　例1中所用的方法可称为“放缩法”。对于一个数，如例1中13个数的平均数，如果不知道它的确切数值，那么可以根据题设条件，适当地将它放大或缩小，再进一步确定它的具体数值。当然，这里的“放大”与“缩小”都要适当，如果放得过大或缩得过小，则可能无法确定正确值，这时“放缩”就失败了。　　例3求下式的整数部分：　　　　　　　　例4求下式的整数部分：　　　　1.22×8.03+1.23×8.02+1.24×8.01。　例5某人执行爆破任务时，点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑，其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问

6、：导火线的长度至少多长才能确保安全？（精确到0.1米）第20讲数值代入法有一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无法求解，但是仔细分析发现，题中只涉及几个存在着倍数或比例关系的数量，而题目中缺少的条件，对于答案并无影响，这时就可以采用“数值代入法”，即对于题目中“缺少”的条件，假设一个数代入进去（当然假设的这个数应尽量方便计算），然后求出解答。　　例1足球赛门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一。问：一张门票降价多少元？　　　　例2某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩人数比女孩人例3甲、乙分别由A，B两地同时出发，甲、乙两人步行的速度比是7∶5。如果

7、相向而行，那么0.5时后相遇；如果按从A到B的方向同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？　第21讲枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。　　例1小明和小红玩掷骰子的游