例谈研究数列单调性的策略及其应用

《例谈研究数列单调性的策略及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、例谈研究数列单调性的策略及其应用袁建强（江苏省常熟市尚湖高级中学215500）摘要：数列最值问题和数列中的不等式问题实际就是需要研究数列单调性，本文举例说明研究数列单调性的策略及其应用.关键词：数列，单调性，策略及其应用.很多数列最值问题和数列中的不等式问题都可以通过研究数列单调性解决，本文想通过例子说明研究数列单调性的策略及其应用，并且探索研究数列单调性解题策略的适用范围，希望同行批评指正.%1.直接考察数列的单调性如果一个数列对应的函数/（"）能够在区I'可（"+°°）上直接考察单调性，那么就能够直接考察数列的单

2、调性._k27_fJ_y-3]例I.=VT+"UJ，展“问是否存在k使5€（°三）.解题分析：4=“2=幺3=0,Uk=2（k~2）+1_（2）,由于当k＞4吋数列（£伙_扌4*ak＞a4=—122丿和I2丿都是单调递增数列，所以当时，2.akG（°，牙）所以不存在k使2.%1.作差或者作商研究数列的单调性当一个数列，（"）对应的函数/（兀）无法直接考察单调性时，可以考虑通过作差几“+1）-弘）或者作商塔严解决，由于当/（町＞0时,心+1）-弘）＞0等m+1）二]价于/⑺），所以使用作差或者作商研允数列的单调性没有本

3、质区别，只需考虑计算哪一种比较简单.例2.（2004上海春21）已知函数g（x）=x2+2ax+（Q为正常数），且函数/（无）与g（x）的图象在〉'轴上的截距相等.（1）求Q的值；（2）求函数/（兀）+8（兀）的单调递增区间；10/（n）-（-）Hn）＜4（3）若斤为正整数，证明：5考查数列｛'"｝的单c=i（）/（"）•（J•卩（"）=in,J_1.（解题分析：⑶设〃l§丿_】UI5丿调性：—<1c>oio-(l)2w+3<1解不等式5，由q>U,上式化为5n>!丄=3.7解得21g0.82，因nwN得n>4f于

4、是C

5、C5>%>…＜c4=103-（-）25＜4所以55%1.构造函数求导研究数列的单调性如果以上两个方法无法研究数列的单调性，可以考虑构造（有时需要变形后构造）数列对应的函数人兀）通过求导研究函数的单调性从而解决数列的单调性.丄例3・①二〃，汰，求数列色的最大项Inan解题分析：nn=—Innn研究函数/（A）"兀的单调性，当Ovxvw时广（兀）＞°,当兀＞£时/z（x）＜°/⑴在（°，幺）上是增函数，/（兀）在…、In2In3…、…、（“卄）上是减函数，又/⑵二丁＜丁=八3）•••/（%=

6、/⑶丄・•・（d〃）max=5=3’%1.用数学归纳法证明数列单调性当只给出数列的递推公式，而且无法求出通项公式时，数列的单调性研究就需要用数学归纳法解决了.例4.（2008全国一22）设函数/W=x-xlnx数列｛〜｝满足°＜4＜】，①+i=/（勺），nwN%（I）证明：函数/（兀）在区间（°'1）是增函数；（II）证明：色＜色+1V1；（III）设处（如1）,整数ainb,证明：兔+1＞冬解题分析：（II）证明：（用数学归纳法）（i）当！1二1吋,0v坷＜1qInaA＜0=/(4)=。1一坷lnd[>a{由函数

7、/⑴在区I、可(°,1)是增函数，且函数/(劝在"1处连续，则/(X)在区间(°川是增函数，ln^

8、冬色<兔+[<1那么当n=k+时，由/(兀)在区间(°川是增函数，OVQ

9、W绞•<兔+]V1得/(兔‘)v/($+J

10、.应用通过研究数列单调性可以解决求数列的最大项和最小项或者相关的不等式问题外，某些用放缩法证明的不等式也可以考虑通过构造数列，研究数列的单调性来证明.I1111InZ7<]1FH例5・已知*N*,心2,求证：23—1.1+—+-+4——Inn%-a=丄一ln(n+l)+lnn解题分析：令色=23n-,n,1丨/I、I1111r(、ln(x+1)+InXr/zX；12/.VU令fM=X,/W=X2兀+1X=/(兀+1),•If(n)>0ri、zn、limf(n)=lim[—+ln(l)]=0/(兀)在(0,+8)上是

11、减函数，又"TP”卄n斤+1、11八•InH<1H1—++即an+>一。2=1—In2>0,..23n—上面分析了研究数列单调性的策略及其应用，还耍引导学生做好数学思想方法的总结,方法的适用范围，同一类型的题目少做或者不做，多思考解题本质，提高分析问题解决问题的能力，避免陷入题海.只有深入学生的思想，做好数学思想方法的分析工作，才能提高课堂