例说数列单调性应用

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1、例说数列单调性应用武钢三中许红伟函数的单调性广泛应用于求函数的最值、不等式、函数的图象等，数列是特殊的函数，数列的单调性也有着广泛的应用，本文举例说明数列单调性在各个方面应用。一、应用于求数列的最值项例1．某城市2001年汽车保有量有30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不超过多少万辆？（2002年全国高考题）　　分析：设2001年末汽车保有量为万辆，以后每年末该城市汽车保有量依次为万辆、

2、万辆、…、万辆、…，再设每年新增汽车x万辆，则，则是公比，首项为的等比数列。则（1）当时　数列是递减数列，故此时；（2）当时　数列是递增数列，故此时使的充要条件是综上所述，可知每年新增汽车数量不超过3.6万辆。例2．已知数列的通项，试问该数列是否存在最大项？若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由。分析：由知，当时，，此时数列是递增数列；当时，，此时数列是递减数列。即有，这说明存在最大项为二、应用于证明不等式例3．已知，求证：。（85年全国高考题）分析：构造数列　∴　∴数列是递减数列　　∴同理构造数列

3、∴　　　∴数列是递增数列∴　　　　∴一、应用求解不等式恒成立问题例4．设是常数，且（1）证明对任意，；（2）假设对任意有，求的取值范围。分析：（1）略。（2）等价于⑴当时，（1）式即，由于是递增数列∴；　　⑵当时，（1）式即，由于是递减数列　　∴。综合①、②知二、应用于其它方面例5．已知函数的图象过点A（4,）和点B（5,1）,记，是数列的前n项和，整数是否为数列中的项？若是，求出相应的项数；若不是，则说明理由。分析：易求出，，记∴，这说明数列从第8项起是递增数列。易知数列前8项不含，而，。总之，不是

4、数列中的项。