曹晓荣---解决数学问题能力的组成及培养策略

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1、解决数学问题能力的组成及培养策略东台市实验初屮曹晓荣提高学生的数学解题能力也就是要提高学生的分析和解决问题的能力，分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.它是逻辑思维能力、运算能力、空间想彖能力等基本数学能力的综合体现.由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注垂对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性.这就对考生分析和解决问题的能力提出

2、了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性.纵观近几年的高考，学生在这一方面失分的普遍存在，如97年的理科24题、98年的理科24题、99年的理科23、24题、2000年的文科21题，这就要求我们教师在平时教学屮注重分析和解决问题能力的培养，以减少在这一方血的失分.笔者就分析和解决问题能力的组成及培养谈儿点刍见.一、分析和解决问题能力的组成1•审题能力审题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提•审题能力主要是指充分理解题意，把握住题F

3、I本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力.要快捷、准确在解决问题，掌握题冃的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的.例1已知sina+sin0=cosa+cos0=，求tgatgp的值.分析：怎样利用已知的二个等式？初看好象找不出条件和结论的联系.只好从未知rgmg0入手，当然，首先想到的是把tga、农0分别求出，然后求出它们的乘积,这是个办法，但是不好求；于是可考虑将tgat^/3写成或叱血0,转向求抽处祜0、COSaCOSPcosacos0•令x=co

4、sacos,y=sinasin/?,丁'是=丄.从方程的观点看，只要有兀、y的二元一次方程就可求出兀、y.于是转向求x+y=cos("-0),x-y=COS(G+0)•这样把问题转化为下列问题：己知sina+sin0=V^①cosa+cosB=-②3求cos(a+0)、cos(6z一0)的值.①'+②'得2+2cos(q-/?)=—,cos(q-/?)=—71②$-①'得cos2q+cos20+2cos(q+0)=—,cos(&+0)=——.这样问题就可以解决.从刚才的解答过程屮可以看出，解决此题

5、的关键在于挖掘所求和条件之间的联系，这需耍一定的审题能力.由此可见，审题能力应是分析和解决问题能力的一个基木组成部分.2.合理应用知识、思想、方法解决问题的能力高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析几何等内容；数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化等；数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方法.只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法，才能解决高屮数学屮的一些基本问题，而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺

6、畅.例2(2000年全国高考题)设函数f(x)=4x^l~ax其中a>0.(I)解不等式/(x)0.所以，原不等式等到价于{+1<(1+ax)?,X>0.即cX>O,i(a~-l)x+2an0.所以，当Osvl时，所给不等式的解集为xOS兀5亠vI1-。叮当沦1时，所给不等式的解集为{xx>o}.（II）在区间［0,+8）上任

7、取兀［，兀2,使得坷<兀2・/(兀J—/(兀2)=+1—J兀;+1一d(兀]—X2)X]+兀2Xj+兀2—d)・<1,J彳+］+J巧+］乂兀1一兀2V0,・•・/（兀

8、）-/（>2）>0'即于0

9、）>于（兀2）・所以，当ani时，函数/（兀）在区间［0,4-00）上是单调递减函数.（ii）当0

10、单调函数.在上述的解答过程屮可以看出，本题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力.2.数学建模能力近儿年来，在高考数学试卷屮，都有儿道实际应用问题，这给学生的分析和解决问题的能力提出了挑战.而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途径和核心.例3（1999全国高考题）下图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辘组成，带钢从一端输入，经过各对轧辐逐步减薄后输岀.00000ucxT…~（I）输入带钢的厚度为输出带钢的厚度为0,若每对轧辘的减薄