（全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的热点问题学案 文

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1、第3讲　圆锥曲线中的热点问题高考定位　1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真题感悟1.(2018·浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2

2、x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案　52.(2018·北京卷节选)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求

3、AB

4、的最大值.解　(1)由题意得2c＝2，c＝.∵e＝＝，∴a＝，则b2＝a2－c2＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的

5、方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

6、AB

7、＝＝＝＝.当m＝0，即直线l过原点时，

8、AB

9、最大，最大值为.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点.(1)解　由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P

10、3，P4.又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.因此解得故C的方程为＋y2＝1.(2)证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴.设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，k1＋k2＝＋＝＝－1，得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B

11、(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.则k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.∴(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，∴当且仅当m>－1时，Δ>0，∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2).所以l过定点(2，－1).考点整合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒　圆锥曲线上

12、点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步

13、骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.热点一　圆锥曲线中的最值、范围【例1】(2018·西安质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝

14、MA

15、·

16、MB

17、，求λ的取值范围.解　(1)原点到直线x＋y－1＝0的距离为，由

18、题得＋＝b2(b>0)，解得b＝1.又e2＝＝1－＝，得a＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率为0时，λ＝

19、MA

20、·

21、MB

22、＝12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，所以y1y2＝.λ＝

23、MA

24、·

25、MB

26、＝

27、y1

28、·

29、y2

30、＝(m2＋1)

31、y1y2

32、＝＝12.由m2>12，得0<<，所以<λ<12.综上可得：<λ