(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第6节 双曲线学案 文 新人教A版

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1、第6节 双曲线最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2(

2、F1F2

3、=2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于

4、F1F2

5、且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合P={M

6、

7、

8、MF1

9、-

10、MF2

11、

12、=2a},

13、F1F2

14、=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0:(1)若ac时,则集合P为空集.2.

15、双曲线的标准方程和几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)图 形性 质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±xy=±x离心率e=,e∈(1,+∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长

16、A1A2

17、=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长

18、B1B2

19、=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c的关系c2=a2+b2[常用结论与微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴

20、垂直的弦的长为,也叫通径.2.离心率e===.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(  )(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(  )(3)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(  )(4)双曲线-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.(  )解析 (1)因为

21、

22、MF1

23、-

24、MF2

25、

26、=8=

27、F1F2

28、,表示的轨迹为两

29、条射线.(2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部.(3)当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m<0,n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)解析 ∵方程-=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2

30、=2×2

31、m

32、=4,解得

33、m

34、=1,∴-1

35、PF

36、=3.又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=.答案 D4.(2017·北京卷)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=________.解析 由题意知=e2=3,则m=2.答案 25.(选修1-1P5

37、4A6改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.解析 设双曲线的方程为:x2-y2=λ(λ≠0),把点A(3,-1)代入,得λ=8,故所求方程为-=1.答案 -=1考点一 双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2018·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y=±x,一个焦点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为(  )A.8B.10C.4+3D.3+3(2)(2018·西安调研)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9

38、,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________.解析 (1)由已知得双曲线方程为-=1,设双曲线的另一个焦点为F′,则

39、PF

40、=

41、PF′

42、+4,△PAF的周长为

43、PF

44、+

45、PA

46、+

47、AF

48、=

49、PF′

50、+4+

51、PA

52、+3,当F′,P,A三点共线时,

53、PF′

54、+

55、PA

56、有最小值,为

57、AF′

58、=3,故△PAF的周长的最小值为10.(2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得

59、MC1

60、-

61、AC1

62、=

63、MA

64、,

65、MC2

66、-

67、BC2

68、=

69、MB

70、,因为

71、MA

72、=

73、MB

74、,所以

75、MC1

76、

77、-

78、AC1

79、=

80、MC2

81、-

82、BC2

83、,即

84、MC2

85、-

86、MC1

87、=

88、BC2

89、-

90、AC1

91、=2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于

92、C1C2

93、=6.又根

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