（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第6节 双曲线学案 文 新人教A版

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1、第6节　双曲线最新考纲　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于

4、F1F2

5、且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M

6、

7、

8、MF1

9、－

10、MF2

11、

12、＝2a}，

13、F1F2

14、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若ac时，则集合P为空集.2.

15、双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图　形性　质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

16、A1A2

17、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

18、B1B2

19、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2[常用结论与微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴

20、垂直的弦的长为，也叫通径.2.离心率e＝＝＝.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)解析　(1)因为

21、

22、MF1

23、－

24、MF2

25、

26、＝8＝

27、F1F2

28、，表示的轨迹为两

29、条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)A.(－1，3)B.(－1，)C.(0，3)D.(0，)解析　∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2

30、＝2×2

31、m

32、＝4，解得

33、m

34、＝1，∴－1

35、PF

36、＝3.又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝.答案　D4.(2017·北京卷)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.解析　由题意知＝e2＝3，则m＝2.答案　25.(选修1－1P5

37、4A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.解析　设双曲线的方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为－＝1.答案　－＝1考点一　双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2018·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为(　　)A.8B.10C.4＋3D.3＋3(2)(2018·西安调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9

38、，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.解析　(1)由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则

39、PF

40、＝

41、PF′

42、＋4，△PAF的周长为

43、PF

44、＋

45、PA

46、＋

47、AF

48、＝

49、PF′

50、＋4＋

51、PA

52、＋3，当F′，P，A三点共线时，

53、PF′

54、＋

55、PA

56、有最小值，为

57、AF′

58、＝3，故△PAF的周长的最小值为10.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得

59、MC1

60、－

61、AC1

62、＝

63、MA

64、，

65、MC2

66、－

67、BC2

68、＝

69、MB

70、，因为

71、MA

72、＝

73、MB

74、，所以

75、MC1

76、

77、－

78、AC1

79、＝

80、MC2

81、－

82、BC2

83、，即

84、MC2

85、－

86、MC1

87、＝

88、BC2

89、－

90、AC1

91、＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于

92、C1C2

93、＝6.又根