课标通用版2020版高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第2讲参数方程检测文

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1、第2讲参数方程[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；当α≠时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理

2、得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝－，故直线l的倾斜角α为或.2．以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝10，曲线C′的参数方程为(α为参数)．(1)判断两曲线C和C′的位置关系；(2)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程．解：(1)由ρ＝10得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝100，由得曲线C′的普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.曲线C表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；曲线C′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间

3、的距离5等于两圆半径的差，所以圆C和圆C′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组解得可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为，所以直线l的直角坐标方程为y＋8＝(x－6)，即3x－4y－50＝0，所以极坐标方程为3ρcosθ－4ρsinθ－50＝0.3．(2019·湘东五校联考)平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且

4、MA

5、·

6、MB

7、＝40，

8、求倾斜角α的值．解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，ρsin2θ＝2cosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，得t2sin2α－(2cosα＋8sinα)t＋20＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝，t1t2＝，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得

9、MA

10、·

11、MB

12、＝

13、t1t2

14、＝＝40，得α＝或α＝.又Δ＝(2cosα＋8sinα)2－80sin2α>0，所以α＝.4．(2019·湖北八校联考)在平面直

15、角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α是参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．解：(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1，由ρsin＝，得ρsinθ＋ρcosθ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)设点P的坐标为(cosα，sinα)，则点P到C2的距离为＝，当sin＝－1，即α＋＝－＋2kπ(k∈Z)，α＝－＋2kπ(k∈Z)时，所求距离最大，最大值为2，此时点P的坐标为.

16、[综合题组练]1．(2019·郑州市第一次质量测试)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．解：(1)由题知直线l的参数方程为(t为参数)．因为ρ＝，所以ρsin2θ＝8cosθ，所以ρ2sin2θ＝8ρcosθ，即y2＝8x.(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1

17、＋t2＝8，t1·t2＝－16，所以

18、AB

19、＝

20、t1－t2

21、＝＝8.又点O到直线AB的距离d＝1×sin＝，所以S△AOB＝

22、AB

23、×d＝×8×＝2.法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2＝8(y＋1)，即y2－8y－8＝0，由根与系数的关系得S△AOB＝

24、OM

25、

26、y1－y2

27、＝×1×＝×＝×4＝2.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(