2018高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 课时跟踪检测(五十九)参数方程练习 文

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1、课时跟踪检测(五十九) 参数方程1.已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧AP的长度均为.(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;(2)求直线AM的参数方程.解:(1)由已知,点M的极角为,且点M的极径等于,故点M的极坐标为.(2)由(1)知点M的直角坐标为,A(1,0).故直线AM的参数方程为(t为参数).2.(2017·贵州适应性考试)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方

2、程为ρ=4cosθ,θ∈.(1)求C的参数方程;(2)若半圆C与圆D:(x-5)2+(y-)2=m(m是常数,m>0)相切,试求切点的直角坐标.解:(1)C的普通方程为(x-2)2+y2=4(0≤y≤2),则C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)C,D的圆心坐标分别为(2,0),(5,),于是直线CD的斜率k==.由于切点必在两个圆心的连线上,故切点对应的参数t满足tant=,t=,所以,切点的直角坐标为,即(2+,1).3.(2017·湖北八校联考)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的

3、点按坐标变换得到曲线C′.(1)求曲线C′的普通方程;(2)若点A在曲线C′上,点D(1,3).当点A在曲线C′上运动时,求AD中点P的轨迹方程.解:(1)将代入得曲线C′的参数方程为∴曲线C′的普通方程为+y2=1.(2)设点P(x,y),A(x0,y0),又D(1,3),且AD的中点为P,∴又点A在曲线C′上,∴代入C′的普通方程+y2=1,得(2x-1)2+4(2y-3)2=4,∴动点P的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.4.(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α

4、<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求

5、AB

6、的最大值.解:(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).所以

7、AB

8、=

9、2sinα-2cosα

10、

11、=4.当α=时,

12、AB

13、取得最大值,最大值为4.5.(2016·长春质检)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos.(1)求曲线C2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;(2)若曲线C1和曲线C2交于A,B两点,求

14、AB

15、的最大值和最小值.解:(1)对于曲线C2有ρ=8cos,即ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ,因此曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4x-4y=0,其表示以(2,2)为圆心,半径为4的圆.(2)联立曲线C1与曲线C2

16、的方程可得:t2-2sinα·t-13=0,所以t1+t2=2sinα,t1t2=-13,所以

17、AB

18、=

19、t1-t2

20、===,因此

21、AB

22、的最小值为2,最大值为8.6.(2016·云南统测)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d,求d的取值范围.解:(1)直线l的普通方程为x-y+3=0.曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3.(2)∵曲线C的直角坐

23、标方程为3x2+y2=3,即x2+=1,∴曲线C上的点的坐标可表示为(cosα,sinα).∴d===.∴d的最小值为=,d的最大值为=.∴≤d≤,即d的取值范围为.7.(2017·河南六市一联)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.解:(1)由曲线C的极坐标方程ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,所以曲线C的直角坐标方程是

24、y2=2x.由直线l的参数方程得t=3+y,代入x=1+t中,消去t得x-y-4=0,所以直线l的普通方程为x-y-4=0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2x,得t2-8t+7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则

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