2018高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 课时跟踪检测（五十八）坐标系练习 文

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1、课时跟踪检测(五十八)　　坐标系1．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．2．(1)把化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)化为极坐标方程；(2)把曲线的极坐标方程ρ＝8sinθ化为直角坐标方程．解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝r2，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r．所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐

2、标方程为ρ＝r(0≤θ＜2π)．(2)法一：把ρ＝，sinθ＝代入ρ＝8sinθ，得＝8·，即x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16．法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsinθ，即x2＋y2－8y＝0．3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R．(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，点R的

3、直角坐标为R(2,2)．(2)设P(cosθ，sinθ)，根据题意可得

4、PQ

5、＝2－cosθ，

6、QR

7、＝2－sinθ，∴

8、PQ

9、＋

10、QR

11、＝4－2sin(θ＋60°)，当θ＝30°时，

12、PQ

13、＋

14、QR

15、取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1．从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2．当θ＝0时，ρ

16、＝2，所以M(2,0)．当θ＝时，ρ＝，所以N．(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为．所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．5．(2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋cosθ)＝5，射线OM：θ＝与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，θ∈．(2)

17、设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有解得设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，则有解得由于θ1＝θ2，所以

18、PQ

19、＝

20、ρ1－ρ2

21、＝4，所以线段PQ的长为4．6．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离．解：(1)如图，由正弦定理得＝．即ρsin＝sin＝，∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝．(2)作OH⊥l，垂足为H，在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，则OH＝OAsin＝，即极点到该直线的距离等于．7．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>

22、0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0．(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ

23、＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1．当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1．8．(2017·广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，在Rt△OAM中，∠OMA＝，∠AOM＝2π－θ－，