广东专版2019高考数学二轮复习第二部分专题四立体几何专题强化练十二立体几何中的向量方法理

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1、专题强化练十二立体几何中的向量方法一、选择题1．在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.解析：如图，建立空间直角坐标系，易求点D(，，1)，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1，0，0)，所以cos〈n，〉＝＝，则sinα＝.答案：D2．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则(－)·的最大值为(　　)A.B．1C.D.解析：由正方体性质知·＝0，则(－)·＝·.建立如图所示的空间直角坐标系，

2、则B(1，1，0)，C(0，1，0)．设点E(x，y，0)，则＝(x，y－1，0)，＝＝(1，1，0)．所以·＝(x，y－1，0)·(1，1，0)＝x＋y－1.易知当E位于点B时，x＋y有最大值2.因此·的最大值为2－1＝1.答案：B3．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1

3、，)．则cos〈，〉＝＝＝.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.答案：C4．(2018·济南质检)在三棱锥PABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，点P到底面ABC的距离等于底面边长．设平面PAC与底面所成的二面角的大小为α，平面PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是(　　)A.B.C．－D．－解析：如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β.不妨设等边△ABC的边长为2，则PH＝2，AH＝BH＝1.所以HE＝，HF＝，则tanα＝tanβ＝＝，故tan(α＋β)＝＝＝－.答案

4、：C二、填空题5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，A1C1∩B1D1＝E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos(α－β)＝________．解析：⇒AC⊥平面BB1D1D⇒AC⊥DE，所以α＝.取A1D1的中点F，连EF，FD，易知EF⊥平面ADD1A1，则β＝∠EDF，所以cos(α－β)＝cos＝sin∠EDF＝.答案：6.如图，在四棱锥CABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝4，AD＝2，异面直线CD与AB所成角为30°，若点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为_______

5、_．解析：因为CD与AB所成角为30°，且AB∥OD，所以∠CDO＝30°，由OD＝2，知OC＝OD·tan30°＝.在直角梯形ABOD中，OB＝＝2.因此(2R)2＝OB2＋OD2＋OC2＝.故球的表面积S＝4πR2＝π.答案：π三、解答题7．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求二面角CBED的余弦值的大小．解：设AD＝DE＝2AB＝2a，以AC，AB所在的直线分别为x轴、z轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B

6、(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)．因为F为CD的中点，所以F.(1)证明：＝，＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，所以＝(＋)，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)设平面BCE的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即不妨令x＝1可得m＝(1，－，2)．设平面BDE的一个法向量n＝(x，y，z)，则即令x＝可得n＝(，－1，0)．于是，cos〈m，n〉＝＝.故二面角CBED的余弦值为.8.(2018·浙江卷)如图所示，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证

7、明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．(1)证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1)．因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3.)由·＝0得AB1⊥A1B1.由·＝0得