2020版高考数学一轮复习 第4章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示讲义 理（含解析）

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1、第2讲　平面向量基本定理及坐标表示[考纲解读]　1.熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点、难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点．预测2020年会从以下几点进行命题：①向量的坐标运算及线性表示；②根据向量共线求参数值；③共线向量与其他知识综合．题型以客观题为主，有时也会与三角函数、解析几何综合命题，试题难度以中档题型为主.1．平面向量基本定理

2、如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

3、a

4、＝，

5、a＋b

6、＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，

7、y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．概念辨析(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　)(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．小题热身(1)设平面向量a＝(

8、－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b等于(　　)A．(6,3)B．(－2，－6)C．(2,1)D．(7,2)答案　B解析　2a－3b＝2(－1,0)－3(0,2)＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．(2)如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)A.B．－C．1D．－1答案　A解析　由题意得＝＋＝＋＝－＋，又＝λ＋μ，由平面向量基本定理得λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.(3)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，若向量a与b同向，则x＝(　　)A．2

9、B．－2C．±2D．0答案　A解析　因为a与b同向，所以a∥b，所以x·(－x)－(－4)×1＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝2b，a与b同向．当x＝－2时，a＝－2b，a与b反向，所以x＝2.(4)若a与b不共线，已知下列各向量：①a与－2b；②a＋b与a－b；③a＋b与a＋2b；④a－b与a－b.其中可以作为基底的是________(填序号)．答案　①②③解析　①②③中两个向量不共线，可以作为基底；④中，a－b＝2，所以两个向量共线，不可以作为基底．题型　平面向量基本定理及其应用　　　　

10、　　　　　　　　　　　　　　　1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2答案　C解析　设向量a，b的终点分别为A，B，因为向量a，b共起点，所以a－b＝，根据图形可知＝e1－3e2.2．(2018·资阳模拟)在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)A.B．2C.D.答案　D解析　∵＝＋，＝＋＝＋，＝－.∴＝λ＋μ＝λ＋μ(－)，∴⇒则λ＋μ＝.3．已知向量e1，e

11、2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则2x－y＝________.答案　9解析　由平面向量基本定理可知解得故2x－y＝9.条件探究1　若把举例说明2的条件改为“在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝”，试用e1，e2表示.解　由＝得＝＝(－)＝(e2－e1)，又因为＝＝e2，所以＝－＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.条件探究2　若把举例说明2的条件改为“在平行四边形ABCD中，边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2”，试用e1，e

12、2表示，.解　设＝x，＝y，则＝x，＝－y.由＋＝，＋＝，得①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，所以＝－e1＋e2.同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要注意运用平面几何的一些性质定理．2．运用平面向量基本定理时应注意的问题(1)只要两个向量不共线，