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《版高考数学一轮复习第章平面向量.平面向量基本定理及坐标表示学案理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.2 平面向量基本定理及坐标表示[知识梳理]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，
2、a
3、＝，
4、a＋b
5、＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝
6、(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )15(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．教材衍化(1)(必修A4
7、P119T11)已知
8、
9、＝1，
10、
11、＝，⊥，点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则等于( )A.B．3C.D.答案 B解析 依题意，以O为原点，OA、OB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0，)，设C(x，y)，由＝m＋n得x＝m，y＝n，又∠AOC＝30°，知＝，故＝3，选B.(2)(必修A4P101A组T5)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.答案 －解析 解法一：由已知条件可得ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m
12、－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵ma＋nb与a－2b共线，∴＝，即n－2m＝12m＋8n，∴＝－.解法二：注意到向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而ma＋nb与a－2b共线的本质是对应的坐标(系数)成比例，于是有＝⇒＝－.3．小题热身(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )A.B.C．1D．2答案 B解析 a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.故选B
13、.(2)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)15D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)答案 B解析 设a＝k1e1＋k2e2，A选项，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴无解．B选项，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，∴解之得故B中的e1，e2可把a表示出来．同理，C，D选项同A选项，无解．故选B.题型1 平面向量基本定理及应用 (2015·北京高考
14、)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________.用向量三角形法则表示出.答案 －解析 由＝2知M为AC上靠近C的三等分点，由＝，知N为BC的中点，作出草图如下：则有＝(＋)，所以＝(＋)－·＝－，又因为＝x＋y，所以x＝，y＝－.方法技巧应用平面向量基本定理的关键点1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．153．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何
15、性质，如平行、相似等．冲关针对训练设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.题型2 平面向量共线的坐标表示及应用角度1 求点的坐标 已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且
16、AP
17、＝
18、BP
19、，则点P的坐标为________．方程组法．答案 (8，－15)解析 设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，且＝，得(x－2，y－
20、3)＝(x－4，y＋3)，即解得所以点P的坐标为(8，－15)．角度2 研究点共线问题 (2018·佛山调研)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(
