高考数学第五章平面向量2第2讲平面向量基本定理及坐标表示练习理（含解析）

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1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)A．－2　　B．－4C．－3D．－1解析：选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.2.已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)A．2B．－2C．3D．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则＝(1，0)，＝(2，－2)，＝(1，2)．因为＝λ＋μ，

2、所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得所以λ＋μ＝2.故选A.3．在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若＝m＋n，则(　　)A．m＝，n＝B．m＝，n＝C．m＝，n＝D．m＝，n＝解析：选A.在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，则＝＋，＝＋，故＝＋，＝＋.由于＝m＋n，所以m＝，n＝.故选A.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，4)　　B．(4，＋∞)C．(－∞

3、，4)∪(4，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝，

4、OC

5、＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)A．2B.C．2D．4解析：选A.因为

6、OC

7、＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)

8、＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．解析：由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)7．(2019·昆明市诊断测试)已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则

9、

10、＝________.解析：设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y－2)，由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以，解得，故

11、

12、＝＝.答案：8．已知A(

13、－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．解析：由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，则＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan150°＝，即－＝－，所以λ＝1，答案：19．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3

14、c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．10．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．解：不妨设⊙O的半径为1，则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C

15、.所以＝，＝.又＝x＋y，所以＝x(－1，0)＋y.所以，解之得，所以x＋y＝－＝－.[综合题组练]1．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)A．(2，0)　B．(0，－2)C．(－2，0)D．(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(