2019年高考数学总复习 专题2.3 函数的奇偶性与周期性导学案 理

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1、第三节　函数的奇偶性与周期性最新考纲　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般

2、步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称．(2)考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)

3、为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．4．函数奇偶性常用结论(1)若函数f(x)是奇函数且x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(

4、x

5、)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(5)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－

6、f(x＋a)；y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．5．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．6．函数的对称性常见的结论(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数y＝f(x)关于x＝0对称

7、⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．典型例题考点一　函数奇偶性的判断【例1】下列函数中，在

8、其定义域内既是奇函数又是减函数的是(　　)A．y＝－x3，x∈RB．y＝sinx，x∈RC．y＝x，x∈RD．y＝x，x∈R【答案】A【解析】选项B在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项C在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D在其定义域内不是奇函数，是减函数．故选A.(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)A.f(x)g(x)是偶函数B.

9、f(x)

10、g(x)是奇函数C.f(x)

11、g(x)

12、是奇函数D.

13、f(x)g(x)

14、

15、是奇函数【答案】C【解析】依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；

16、f(－x)

17、·g(－x)＝

18、－f(x)

19、·g(x)＝

20、f(x)

21、g(x)，

22、f(x)

23、g(x)是偶函数，B错；f(－x)

24、g(－x)

25、＝－f(x)

26、g(x)

27、＝－[f(x)

28、g(x)

29、]，f(x)

30、g(x)

31、是奇函数，C正确；

32、f(－x)·g(－x)

33、＝

34、－f(x)g(x)

35、＝

36、f(x)g(x)

37、，

38、f(x)g(

39、x)

40、是偶函数，D错.【例2】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝【答案】（1）是奇函数又是偶函数（2）奇函数（3）奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)