2019年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 命题的四种形式讲义（含解析）湘教版选修2-1

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1、1．1.2　命题的四种形式[读教材·填要点]1．四种命题结构2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[小问题·大思维]1．命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？提示：由四种命题间的关系可知a与d是一个命题．2．如果一个命题的逆命题为真命题

2、，这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题．因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．3．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.四种命题的概念写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若α＋β＝，则sinα＝cosβ；(2)对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.[自主解答]　逆命题：若sinα＝cosβ，则α＋β＝.否命题：若α＋β≠，则sinα≠cosβ.逆否命题：若s

3、inα≠cosβ，则α＋β≠.(2)逆命题：对任意非正数c，若有a≤b成立，则a≤b＋c.否命题：对任意非正数c，若有a>b＋c成立，则a>b.逆否命题：对任意非正数c，若有a>b成立，则a>b＋c.四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．1．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条

4、直线垂直于平面．解：(1)原命题改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．四种命题真假的判断判断下列命题的真假，并说明理由．(1)“若x2＋y2≠0，则x，y

5、不全为零”的否命题；(2)“正三角形都相似”的逆命题；(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；(4)“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．[自主解答]　(1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．　真命题(2)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．　假命题(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0.∴m<－≤0.　真命题(4)原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”．∵x不是无理数，∴x

6、是有理数．又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数．　真命题若本例(3)改为判断“若m>0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根，则m≤0”．因为方程mx2＋x－1＝0无实根，则m≠0，所以判别式Δ＝1＋4m<0，则m<－，故m≤0，为真命题．在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的等价关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．2．把命题

7、“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．解：“若p，则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题；逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题；否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题；逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题．等价命题的应用证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a

8、＋b≥0.[自主解答]　法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)