2018-2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2-1.1.3四种命题四种命题间的相互关系讲义含解析新人教A版选修

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1、1．1.2&1.1.3　四种命题　四种命题间的相互关系　　　　预习课本P4～8，思考并完成以下问题1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？　　2．什么样的两个命题有相同的真假性？　　3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？　　1．原命题与逆命题2．原命题与否命题3．原命题与逆否命题4．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性(　　)(2)原

2、命题与逆命题之间的真假性没有关系(　　)答案：(1)√　(2)√2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数答案：B3．命题“若x2>y2，则x>y”的否命题是________________________________________________________________________．答案：若x2≤y2，则x≤y4．命题p：若a＝1，则a2＝1；命题q：若a2≠1，则a≠1，则命题p

3、与q的关系是________．答案：互为逆否命题四种命题的概念[典例]　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)对顶角相等；(2)全等三角形的对应边相等．[解]　(1)原命题：如果两个角是对顶角，则它们相等；逆命题：如果两个角相等，则它们是对顶角；否命题：如果两个角不是对顶角，则它们不相等；逆否命题：如果两个角不相等，则它们不是对顶角．(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对

4、应不相等，则这两个三角形不全等．四种命题的转换方法(1)逆命题：互换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．[注意]　四种命题转换时关键是把命题写成“若……则……”的形式．　　　　[活学活用]写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；

5、否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.四种命题真假的判断[典例]　判断下列命题的真假．(1)“正三角形都相似”的逆命题．(2)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题．(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．[解]　(1)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．(2)原命题的否命题为“若x

6、2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．因为方程x2＋x－m＝0无实根，所以判别式Δ＝1＋4m<0，解得m<－，故m≤0，为真命题．[一题多变]1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．因为方程x2＋x－m＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m≥0，所以m≥－，故逆命题为假命题．2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m>0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否

7、命题为“若mx2＋x－1＝0无实根，则m≤0”．因为方程mx2＋x－1＝0无实根，则m≠0，所以判别式Δ＝1＋4m<0，则m<－，故m≤0，为真命题．解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．等价命题的应用[典例]　证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[证明]　法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，