2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修1 -1

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1、2.3.2　抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)[自主预习·探新知]1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R性质对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝12.焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1

2、)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，

3、AF

4、＝x1＋，

5、BF

6、＝x2＋，故

7、AB

8、＝x1＋x2＋p.3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示]　可

9、能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．[基础自测]1．思考辨析(1)抛物线关于顶点对称．(　　)(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　　)(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则

10、AB

11、＝(　　)A．10　　　　　　　B．8C．6D．4B　[

12、AB

13、＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直

14、线交该抛物线于A，B两点，

15、AF

16、＝2，则

17、BF

18、＝________.【导学号：97792102】2　[F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴

19、BF

20、＝

21、AF

22、＝2.][合作探究·攻重难]抛物线几何性质的应用　(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程．[解]　(1)根据

23、抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.[答案]　y2＝3x或y2＝－3x(2)由已知得＝2，所以＝4，解得＝，即渐近线方程为y＝±x.而抛物线准线方程为x＝－，于是A，B，从而△AOB的面积为·p·＝，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.[规律方法]　抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点

24、和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为.[跟踪训练]1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)A．y2＝x　　　　B．y2＝－xC．y2＝±xD．y2＝±xC　[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.]与中点弦、焦点弦有关的问题　(1)过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2

25、的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

26、AB

27、＝9.①求该抛物线的方程；②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．[思路探究]　(1)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；法二：设直线AB的方程，建立方程求解．(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解．②根据(1)求出点A、B的坐标，设出点C的坐标，由＝＋λ，可用λ表示点C的坐标，最后根据点C在抛物线上求出λ值．[解]　(1)法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有

28、y＝8x1，y＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)