高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质学案

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1、2.3.2　抛物线的简单几何性质第1课时　抛物线的简单几何性质学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一　抛物线的几何性质思考　观察下列图形，思考以下问题：观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？答案　抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．梳理

2、　标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)焦点准线x＝－x＝y＝－y＝离心率e＝1知识点二　焦点弦的性质如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切．(2)

3、AB

4、＝2(焦点弦长与中点关系)．(3)

5、AB

6、＝x1＋x2＋p.(4)若直

7、线AB的倾斜角为α，则

8、AB

9、＝.如当α＝90°时，AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的．(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2.1．抛物线关于顶点对称．(　×　)2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　√　)3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　√　)类型一　抛物线几何性质的应用例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．考点　抛物线的

10、标准方程题点　求抛物线方程解　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，焦点F，直线l：x＝，所以A，B两点坐标为，，所以

11、AB

12、＝2

13、m

14、.因为△OAB的面积为4，所以·

15、

16、·2

17、m

18、＝4，所以m＝±2.所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.引申探究　等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)A．8p2B．4p2C．2p2D．p2答案　B解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称

19、轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．所以

20、AB

21、＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.反思与感悟　把握三个要点确定抛物线简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其

22、上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．考点　抛物线的标准方程题点　求抛物线方程解　设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)．因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6.因为点P到准线距离为10，所以＝10.①因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0，②由①②，得或或或所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.类型二　抛物线的焦点弦问题例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若直线l的倾斜角为60°，求

23、AB

24、的值．考点　抛物线的焦点弦问题题

25、点　求抛物线的焦点弦长解　因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝.又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y，得x2－5x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而

26、AB

27、＝

28、AF

29、＋

30、BF

31、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以

32、AB

33、＝5＋3＝8.引申探究　1．若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“直线l垂直于x轴”，求

34、AB

35、的值．解　直线l的方程为x＝，联立解得或所以

36、AB

37、＝3－(－3)＝6.2．若本例中“直线l的倾斜角为60°”改为“

38、AB

39、＝9”，求线段AB的中

40、点M到准线的距离．解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知

41、AB

42、＝

43、AF

44、＋

45、BF

46、＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－，所以点M到准线的距离为3＋＝.反思与感悟　(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的