2018-2019年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式评估验收卷 新人教A版选修4-5

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1、第四讲数学归纳法证明不等式评估验收卷(四)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有(　　)A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法

2、都不正确解析：依题意命题A(n)对大于或等于n0的正整数都成立．答案：C2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)(　　)A．n为任何正整数时都成立B．仅当n＝1,2，3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立解析：把n＝1，2，3，4，5代入验证可知B正确．答案：B3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋＜2－B．1＋＋＜2－C．1＋＜2－D．1＋＋＜2－解析：因为n≥2，所以第一步验证不等式应为n

3、＝2时1＋＜2－.答案：A4．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　)A.B.＋C.＋D.＋＋解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案：D5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析

4、：本题主要考查数列的概念．由n到n2一共有整数n2－n＋1个，所以f(n)有n2－n＋1项，当n＝2时代入得，f(2)＝＋＋.故本题正确答案为D.答案：D6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N＋)B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N＋)C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N＋)D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋)解析：n为正奇数，根据数

5、学归纳法证题的步骤，第二步应先假设n取第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1时正确，再推n取第(k＋1)个正奇数，即n＝2k＋1时正确．答案：B7．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　)A．f(k)＋1　　　　　　B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D．k·f(k)解析：第k＋1条直线与前k条直线都相交有交点，所以应比原先增加k个交点．故应选B.答案：B8．在数列{an}中，a1＝－1，前n项和Sn＝－1，先算出数列的前4项的值，根据这

6、些值归纳猜想数列的通项公式是(　　)A．an＝－1B．an＝n－1C．an＝－D．an＝－解析：由题意，可知S2＝a1＋a2＝－1，所以a2＝－1－＋1＝－；S3＝a1＋a2＋a3＝－1，所以a3＝S3－S2＝－，同理，可得a4＝S4－S3＝－，故可猜想an＝－.答案：D9．F(n)是一个关于自然数n的命题，若F(k)(k∈N*)真，则F(k＋1)真，现已知F(7)不真，则有①F(8)不真　②F(8)真　③F(6)不真　④F(6)真　⑤F(5)不真　⑥F(5)真其中正确的是(　　)A．③⑤B．①②

7、C．④⑥D．③④解析：因为F(k)(k∈N*)真，则F(k＋1)真的逆否命题是：F(k＋1)不真，则F(k)不真，从而可结合数学归纳法的原理知：当F(7)不真时，F(6)不真，F(5)亦不真，故③⑤是正确的．答案：A10．设0＜θ＜，已知a1＝2cosθ，an＋1＝，则猜想an为(　　)A．2cosB．2cosC．2cosD．2sin解析：a1＝2cosθ，a2＝＝2cos，a3＝＝2cos，猜想an＝2cos.答案：B11．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋

8、c对一切n∈N*都成立，则a，b，c的值为(　　)A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a，b，c解析：因为等式对一切n∈N*均成立，所以n＝1，2，3时等式成立，即整理得解得答案：A12．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　)A．30B．26C．36D．6解析：f(1)＝36，f(2)＝108，n≥3时f(n)＝9[(2n＋7)3n－2＋1]，(2n＋7)·3n－2＋1