2.2.2反证法

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1、练习题一1．下列命题错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数解析：选D.a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B.因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不

2、大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三个内角都大于60°”，故选B.3．实数a、b、c不全为0是指()A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c至多有一个为0D．a、b、c至少有一个不为0解析：选D.“不全为0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．4．用反证法证明命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形”答案：

3、存在多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中可作为条件使用的是()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：选C.由反证法的定义可知．2．如果两个数的和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数解析：选C.两个数的和为正数，则有三种情况：(1)一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；(2)一个是正数，一个是零；(3)两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”．3．设

4、x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，显然①②矛盾，所以C正确．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：选B.“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．5．否定“自然数a、b、c中恰

5、有一个偶数”时，正确的反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数解析：选D.恰有一个偶数的否定有两种情况：其一是无偶数(全为奇数)；其二是至少有两个偶数．6．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a、b∈R，

6、a

7、＋

8、b

9、<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设

10、x1

11、≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的

12、假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的，故选D.二、填空题7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．解析：对其的否定有两部分：一是任何三角形；二是至少有两个．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角8．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时应分：假设________和________两类．解析：∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或

13、∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP∠BAP＞∠CAP9．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一个不小于.答案：三、解答题10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．证明：假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b，而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0.即＝，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．11．用反证法证明：已知a、b均为

14、有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数．证明：假设