四川省成都市高中数学 第二章 圆锥曲线及方程 第6课时 直线与双曲线的位置关系同步测试 新人教A版选修1 -1

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1、第6课时　直线与双曲线的位置关系基础达标(水平一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.已知直线l过点(,0),且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有(　　).A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】点(,0)即为双曲线的右顶点,过该点的直线有2条与双曲线渐近线平行且与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.【答案】C2.已知双曲线C:-=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且

2、PF1

3、=2,则

4、PF2

5、等于(

6、　　).A.4B.6C.8D.10【解析】依题意,有=,所以a=3,因为

7、PF1

8、=2,所以点P在双曲线的左支上,所以

9、PF2

10、-

11、PF1

12、=2a,解得

13、PF2

14、=8,故选C.【答案】C3.已知点P(3,-4)是双曲线-=1(a>0,b>0)渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若·=0,则双曲线的方程为(　　).A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】由题意知,点E(-c,0),F(c,0),则·=(3+c,-4)·(3-c,-4)=9-c2+16=0,所以c2=25.可排除A,B选项.又D选项中双曲线的渐近线方程为y=±x,点P

15、不在渐近线上,排除D选项,故C正确.【答案】C4.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是(　　).A.B.C.D.【解析】由得(1-k2)x2-4kx-10=0.由题意得解得-0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点.则双曲线离心率的取值范围为　　　　. 【解析】由题意可知从而4<<9,所以e=∈(,).【答案】(,)6.已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点

16、A为双曲线虚轴的一个端点,过F,A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=3,则此双曲线的离心率为　　　　　. 【解析】因为F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点,定点A为双曲线虚轴的一个端点,所以可设点F(-c,0),A(0,b),B(xB,yB),直线AF:y=x+b.由题意知,直线AF与渐近线y=x相交.联立两直线消去x,得yB=.由=3,得yB=4b,所以=4b,解得离心率e=.【答案】7.从双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.【解析】设点P(x,y),Q(x

17、0,y0),则点N(2x-x0,2y-y0),代入x+y=2,得2x-x0+2y-y0=2.　①因为PQ垂直于直线x+y=2,所以=1,即x-y-x0+y0=0.　②由①②得x0=x+y-1,y0=x+y-1.由点Q(x0,y0)在双曲线x2-y2=1上,代入双曲线方程,得点P的轨迹方程为2x2-2y2-2x+2y=1.拓展提升(水平二)8.已知双曲线-=1(a>0,b>0),若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A,B两点,且=3,则该双曲线离心率的最小值为(　　).A.B.C.2D.2【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点,且=

18、3,所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即A在左支,B在右支.设点A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0),因为=3,所以c-x1=3(c-x2),即3x2-x1=2c.因为x1≤-a,x2≥a,所以-x1≥a,3x2≥3a,所以3x2-x1≥4a,即2c≥4a,≥2,即e≥2,故选C.【答案】C9.已知双曲线-=1上存在两点P,Q关于直线y=x+b对称,且PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,则实数b的值为(　　).A.-10B.-8C.-2D.2【解析】因为点P,Q关于直线y=x+b对称,所以线段PQ的垂直平分线的方程为

19、y=x+b,所以直线PQ的斜率为-1.设直线PQ的方程为y=-x+m,令点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM),由得x2+4mx-2m2-6=0,所以xP+xQ=-4m,所以xM=-2m,所以点M(-2m,3m).又因为PQ的中点M在直线2x+y-2=0上,所以-4m+3m-2=0,解得m=-2,由PQ的中点M也在直线y=x+b上,得b=5m,所以b=-10,故选A.【答案】A10.连接双曲线-=1和-=1(其中a>0,b>0)的四个顶点的四边形的面积为S1,连接四个焦点的四边形的面积为S2,则当的值最大时,双曲线-=1的离心

20、率为.【解析】由题意可知S1=×2a×2b=2ab,S2=×2c×2c=2c2,∴===≤,当且仅当=,即a2=b2=c2-a2时等号成立,此时双曲线-=1的离心率