垂径定理典型例题及练习最新版本

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时间:2020-01-17

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1、【基础知识回顾】一、圆的定义及性质:1、圆的定义:⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦】2、弦与弧:弦:连接圆上任意两点的叫做弦弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类3、圆的对称性:⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是【名师提醒:圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理

2、及推论:1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其中三个,注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算,在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系:1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定

3、理及其推论:1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角有个,它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形:定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做这个圆叫做性质:圆内接四边形的对角【名师提醒:圆内接平行四边形是圆内接梯形是】垂径定理典型例题分析:例题1、基本概念1.下面四个命题中正确的一个

4、是()A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦精选范本,供参考!C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2.下列命题中,正确的是(  ). A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B.过弦的中点的直线必过圆心 C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16cm,那么油面宽度AB是________cm.2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是48cm,那么油的最

5、大深度为________cm.3、如图,已知在⊙中,弦,且,垂足为,于,于.(1)求证:四边形是正方形.(2)若,,求圆心到弦和的距离.4、已知:△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.5、如图,F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任意一点,A是的中点,AD⊥BC于D,求证:AD=BF.例题3、度数问题1、已知:在⊙中,弦,点到的距离等于的一半,求:的度数和圆的半径.精选范本,供参考!2、已知:⊙O的半径,弦AB、AC的长分别是、.求的度数。例题4、相交问题如图,已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,∠BED=30°

6、,求CD的长.ABDCEO例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD,求:AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D两点,设大圆和小圆的半径分别为.求证:.精选范本,供参考!作业:一、概念题1.下列命题中错误的有()(1)弦的垂直平分线经过圆心(2)平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴是直径A.1个B.2个C.3个D.4个2、⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是()(A)(B)(C)(D)3.如图,如果为⊙直径,弦,垂足为,那么下列

7、结论中错误的是()A.B.C.D.4.如图,是⊙直径,是⊙的弦,于,则图中不大于半圆的相等弧有()对。A.1对B.2对C.3对D.4对二、垂径定理1、过⊙O内一点P的最长弦为10cm,最短的弦为6cm,则OP的长为.2.在⊙中,弦长为,圆心到弦的距离为,则⊙半径长为3.半径是的圆中,圆心到长的弦的距离是4.如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径,桥拱的距度m,则拱高m.5.一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示,如

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