垂径定理典型例题及练习

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1、【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称

2、图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆

3、心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常

4、作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】垂径定理典型例题分析：例题1、基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦5C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（　　）．　A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧　B．过弦的中点的直线必过圆心　C．弦所对的两条弧

5、的中点连线垂直平分弦，且过圆心　D．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.（1）求证：四边形是正方形.（2）若，，求圆心到弦和的距离.4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长

6、．5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.例题3、度数问题1、已知：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.52、已知：⊙O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.ABDCEO例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个

7、同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：.5作业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A．1个B．2个C．3个D．4个2、⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）3．如图，如果为⊙直径，弦，垂足为，那么下列结论中错误的是（）A．B．C．D．4．如图，是⊙直径，是⊙的弦，于，则图中不大于半圆的相等弧有（）对。A．1对B．

8、2对C．3对D．4对二、垂径定理1、过⊙O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为.2.在⊙中，弦长为，圆心到弦的距离为，则⊙半径长为3．半径是的圆中，圆心到长的弦的距离是4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径，桥拱的距度m，则拱高m.5．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm，水面宽，则水管中水