2、大值D.f(x)在(0,+∞)上有极小值【解析】选B.因为x2f′(x)+xf(x)=lnx⇒xf′(x)+f(x)⇒[xf(x)]′⇒xf(x)=(lnx)2+c,所以f(x)=+,又f(e)=,得c=,即f(x)=+,所以f′(x)=-=≤0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减.3.函数f(x)的导函数为f′(x),对∀x∈R,都有2f′(x)>f(x)成立,若f(ln4)=2,则不等式f(x)>的解是( )A.x>ln4B.01D.0,所以g′(x)>0在R上恒成立,因此g(x)=在R
3、上是增函数,g(ln4)====1,由f(x)>,得g(x)=>1,所以g(x)>g(ln4),由于g(x)在R上是增函数,所以x>ln4.4.已知函数f(x)=x2-x-lnx,则函数f(x)的最小值为( )A.--lnB.--ln2C.-D.-+ln3【解析】选B.因为f(x)=x2-x-lnx,所以f′(x)=x-1-=,(x>0),令f′(x)=0,得x=2,当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当x=2时,f(x)有最小值f(2)=--ln2.5.
4、已知函数f(x)=x2++4lnx,g(x)=kx-1,若f(x)≥g(x),则k的取值范围为( )A.(-∞,4]B.(-∞,4)C.(0,4)D.(-∞,3]【解析】选A.因为f(x)=x2++4lnx,x>0,所以f′(x)=2x-+=,构造函数h(x)=x3+2x-1,x>0,是增函数,h(0)=-1,h=,所以存在唯一的x0∈使得h(x)=0,所以在区间(0,x0)上,h(x)<0,f′(x)<0,f(x)是减函数,在区间(x0,+∞)上,h(x)>0,f′(x)>0,f(x)是增函数,如图,于是问题转化为过点(0,-1),作曲线y=f(x)的切线,求
5、斜率k,设切点为P(x1,y1),则切线斜率为f′(x1)=2x1-+,所以2x1-+=,又y1=++4lnx1,所以x1=1,所以切线方程为y=4x-1,由图象可知k的取值范围为k≤4.6.(2018·惠州模拟)已知函数f(x)=xsinx+cosx+x2,则不等式f(lnx)+f<2f(1)的解集为( )A.(e,+∞)B.(0,e)C.∪(1,e) D.【解析】选D.f(x)=xsinx+cosx+x2,因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以f=f(-lnx)=f(lnx),所以f(lnx)+f<2f(1)可变形为f(lnx)6、(x)=xcosx+2x=x(2+cosx),因为2+cosx>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以f(lnx)7、lnx
8、<1,即-19、x)≤0在[a,b]上恒成立,即不等式3x2-2tx+3≤0在[a,b]上恒成立,即有t≥在[a,b]上恒成立,而函数y=在[1,3]上单调递增,由于a∈[1,2],b∈(2,3],当b=3时,函数y=取得最大值,即ymax==5,所以t≥5.答案:[5,+∞)8.已知函数f(x)=xlnx-aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是____________. 【解析】由题意知,f′(x)=1+lnx-aex,令f′(x)=0,得a=,函数f(x)有两个极值点,则需f′(x)=0有两个实数根,等价于a=有两个实数根,等价于直线y=a与y=的图象
10、有两个交点
