2019-2020年高考数学一轮复习 3.2 等差数列教案

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1、2019-2020年高考数学一轮复习3.2等差数列教案●知识梳理1.等差数列的概念若数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{an}叫等差数列.2.通项公式：an=a1+（n－1）d，推广：an=am+（n－m）d.变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.3.等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.4.前n项和：Sn==na1+d=n·an－（n－1）nd.变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）.●点击双基1.（xx年

2、全国，文5）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是A.48B.49C.50D.51解析：由已知解出公差d=，再由通项公式得+（n－1）=33，解得n=50.答案：C2.（xx年全国，8）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

3、m－n

4、等于A.1B.C.D.解析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=.∴

5、m－n

6、=.答案：C3.（xx年春季上海，7）

7、在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－=0上，则an=___________________.解析：将点代入直线方程得－=，由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即an=3n2.答案：3n24.（xx年春季上海，12）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为___________________.解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f（x）+f（1－x）=，即f（－5）+f（6）=，f（－4）+f（5）=，f（－3）+f（4）=，

8、f（－2）+f（3）=，f（－1）+f（2）=，f（0）+f（1）=，故所求的值为3.答案：3●典例剖析【例1】数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，（1）求常数p的值；（2）证明：数列{an}是等差数列.剖析：（1）注意讨论p的所有可能值.（2）运用公式an=求an.解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1.则a1=0.当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.∵a1≠a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.n≥2时，an=Sn－Sn－1=nan－（n－

9、1）an－1.∴=.则=，…，=.∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an－an－1=a2.故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.评述：本题为“Snan”的问题，体现了运动变化的思想.【例2】已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.解：设{an}的首项为a1，公差为d，则解得∴S110=110a1+×110×109d=－110.评述：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和

10、d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.思考讨论此题能按等差数列的关于和的性质来求吗?【例3】已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{

11、an

12、}的前n项和Tn.剖析：由Sn=12n－n2知Sn是关于n的无常数项的二次函数（n∈N*），可知{an}为等差数列，求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.解：当n=1时，a1=S1=12－12=11；当n≥2时，an=Sn－Sn－1=12n－n2－［12（n－1）－（n－1）2］=13－2n.∵n=1时适合上式，∴{an

13、}的通项公式为an=13－2n.由an=13－2n≥0，得n≤，即当1≤n≤6（n∈N*）时，an＞0；当n≥7时，an＜0.（1）当1≤n≤6（n∈N*）时，Tn=

14、a1

15、+

16、a2

17、+…+

18、an

19、=a1+a2+…+an=12n－n2.（2）当n≥7（n∈N*）时，Tn=

20、a1

21、+

22、a2

23、+…+

24、an

25、=（a1+a2+…+a6）－（a7+a8+…+an）=－（a1+a2+…+an）+2（a1+…+a6）=－Sn+2S6=n2－12n+72.∴Tn=评述：此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符