冲刺2019高考数学二轮复习 核心考点特色突破 专题10 平面向量的数量积及其应用（含解析）

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1、专题10平面向量的数量积及其应用【自主热身，归纳总结】1、已知向量a，b满足a＝(4，－3)，

2、b

3、＝1，

4、a－b

5、＝，则向量a，b的夹角为________．【答案】　【解析】：设向量a，b的夹角为θ，由

6、a－b

7、＝得，21＝2＝a2＋b2－2a·b＝25＋1－2×5×cosθ，即cosθ＝，所以向量a，b的夹角为.2、已知

8、a

9、＝1，

10、b

11、＝2，a＋b＝(1，)，则向量a，b的夹角为________．【答案】.π3、已知平面向量a＝(2，1)，a·b＝10，若

12、a＋b

13、＝5，则

14、b

15、的值是________．【答案】5　【解析】：因为50＝

16、a＋b

17、

18、2＝

19、a

20、2＋

21、b

22、2＋2a·b＝5＋20＋

23、b

24、2，所以

25、b

26、＝5.4、已知平面向量a＝(4x,2x)，b＝（1，），x∈R，若a⊥b，则

27、a－b

28、＝________.【答案】.2　【解析】：因为a⊥b，所以4x＋2x×＝4x＋2x－2＝0，解得2x＝－2(舍)或2x＝1，故a＝(1,1)，b＝(1，－1)，故a－b＝(0,2)，故

29、a－b

30、＝2.5、如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·的值是________．【答案】9　【解析】：·＝(－)·(－)＝(＋)·(－)＝OC2－OD2，类似·＝AO2

31、－OD2＝－7，所以·＝OC2－OD2＝OC2－AO2－7＝9.思想根源极化恒等式：a·b＝2－2.在△ABC中，若M是BC的中点，则·＝AM2－MC2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．6、已知非零向量a，b满足

32、a

33、＝

34、b

35、＝

36、a＋b

37、，则a与2a－b夹角的余弦值为________．【答案】：　解法1因为非零向量a，b满足

38、a

39、＝

40、b

41、＝

42、a＋b

43、，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－a2＝－b2，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝a2，

44、2a－b

45、＝＝＝

46、a

47、，cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝.解法2因为非零向量a，b满

48、足

49、a

50、＝

51、b

52、＝

53、a＋b

54、，所以〈a，b〉＝，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2a2－

55、a

56、·

57、b

58、cos＝a2，

59、2a－b

60、＝＝＝＝

61、a

62、.以下同解法1.解后反思解法2充分挖掘题目条件“非零向量a，b满足

63、a

64、＝

65、b

66、＝

67、a＋b

68、”，可构造一个内角为的菱形，向量a，b为此菱形的一组邻边，且其夹角为.类似地，若将条件变为“

69、a

70、＝

71、b

72、＝

73、a－b

74、”，同样可构造一个内角为的菱形，向量a，b为此菱形的一组邻边，但其夹角应为.7、在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足＝＋λ，且·＝1，则实数λ的值为________．【答

75、案】：1或－　解法1由题意可得－＝＝λ.又＝－＝＋(λ－1)，所以·＝λ·＋λ(λ－1)

76、

77、2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.解法2建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(0,0)，B，C(2,0)，设P(x，y)．所以＝(x，y)，＝，＝(2,0)．又因为＝＋λ，所以有所以＝(2λ，0)，＝.由·＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.解后反思用基向量表示其他向量的能力是平面向量考查的重点，如何基底化需要积累经验，如果不能基底化，也可以恰当建系，正确给出每个点的坐标，用坐标运算8、如图，在

78、△ABC中，已知边BC的四等分点依次为D，E，F.若·＝2，·＝5，则AE的长为________．【答案】　解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法，由于本题求线段AE长，且点B，C，D，E，F共线，故可以用向量，作为基底．解法3(基底法)因为E在中线AD上，所以可设＝λ(＋)，则＝(1－λ)－λ，同理＝(1－λ)－λ，所以·＝－3[(1－λ)2＋λ2]－13λ(1－λ)＝－3－7λ(1－λ)．由·E＝0，得(＋)·[(1－λ)－λ]＝0，可解得λ＝.从而·＝－3－＝－.对于平面向量数量积的计算主要有两种思路：(1)坐标法：通过建立平

79、面直角坐标系，写出各点的坐标，通过坐标运算求解；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量转化并求解．本题用坐标法求解，较为简单，请考生尝试用基底法求解.【关联2】、如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为▲．QPOBA【答案】解法1（坐标法）以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，，则直线，由于点在单位圆在第一象限的圆弧上，可设，，设点关于直线的对称点，则，可得，即所以令，则且故，所以的取值范围为．解法2（极化恒等式）设的中点为，则，根据图形可得，当点与（或）重合时，点

80、与重合，且，，则，当点位于弧的中点时，，，则，所以的取值范围为．解法3（特殊位置法）注意到本题图形的对称性，易得的最大值和