2019高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第三讲 空间向量与立体几何教案 理

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1、第三讲　空间向量与立体几何年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018Ⅰ卷面面垂直及线面角求法·T18命题分析高考中此部分命题较为稳定，以解答题的形式考查空间平行关系和垂直关系的证明，空间几何体表面积和体积的计算，异面直线所成的角、线面角和二面角的求解，简单的空间距离的求解，难度中等偏上．其中解答题的基本模式是既有证明也有计算，其中的计算离不开证明，以考查证明为主．学科素养几何中的向量方法主要是通过向量法求解空间角问题，重点考查了学生直观想象与数学运算素养能力.Ⅱ卷线面垂直及线面角求法·T20

2、Ⅲ卷面面垂直及二面角求法·T192017Ⅰ卷面面垂直与二面角求法·T18Ⅱ卷异面直线所成角求法·T10线面平行与二面角求法·T19Ⅲ卷线与线所成角问题·T16面面垂直与二面角求法·T192016Ⅰ卷面面垂直的证明及二面角的求解·T18Ⅱ卷线面垂直证明及二面角的求解·T19Ⅲ卷线面平行的证明及线面角的求解·T19向量法证明线面平行、垂直关系授课提示：对应学生用书第40页[悟通——方法结论]1．用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法

3、向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；直线的方向向量与平面内两不共线向量共面．(3)面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题．2．用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．[全练——快速解答]1．在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90

4、°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以＝(a,0,0，)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，·＝0，·＝0＋4－4＝0，所以⊥，⊥，即⊥，⊥.又BA∩BD＝B

5、，BA⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G(，1,4)，F(0,1,4)，则＝(，1,1)，＝(0,1,1)，·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，所以⊥，⊥，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG⊂平面EGF，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.2．如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求证：E

6、F∥平面PAB；(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，＝，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．(1)因为＝－，所以∥，即EF∥AB.又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0

7、)＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.又因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.向量法证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题．向量法求空间角大小授课提示：对应学生用书第41

8、页[悟通——方法结论]1．向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝

9、cos〈a，b〉

10、＝.2．向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝

11、cos〈n，a〉

12、＝.3．向量法求二面角求出二面角αlβ的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角αlβ所成的角θ为锐角，则cosθ＝

13、cos〈n1，n2〉

14、＝；若二面角αlβ所成的角θ为钝角，则cosθ＝－

15、