（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第3讲 空间向量与立体几何教案.doc

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1、第3讲　空间向量与立体几何利用空间向量证明平行、垂直及求空间角[核心提炼]1．利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间平行、垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)，则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2

2、a3＋b2b3＋c2c3＝0.2．利用直线的方向向量与平面的法向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，υ＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线线夹角设l，m的夹角为θ，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝＝

3、cos〈a，μ〉

4、.(3)面面夹角设平面α、β的夹角为θ，则

5、cosθ

6、＝＝

7、cos〈μ，υ〉

8、.[典型例题](1)如图，在直三棱柱ADEBCF中，平面ABFE和平面ABCD-24-都是正方

9、形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：①OM∥平面BCF；②平面MDF⊥平面EFCD.(2)(2018·高考浙江卷)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.①证明：AB1⊥平面A1B1C1；②求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【解】　(1)证明：由题意知，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(

10、0，1，0)，F(1，0，1)，M，O.①＝，＝(－1，0，0)，所以·＝0，所以⊥.因为棱柱ADEBCF是直三棱柱，所以AB⊥平面BCF，所以是平面BCF的一个法向量，又OM⊄平面BCF，所以OM∥平面BCF.②设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．因为＝(1，－1，1)，＝，＝(1，0，0)，由n1·＝n1·＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.-24-同理可得n2＝(0，1，1)．因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD.(2)①证明：如图，以AC的中点O为原点，分别

11、以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1)．因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)．＝(0，2，－3)．由·＝0得AB1⊥A1B1.由·＝0得AB1⊥A1C1.所以AB1⊥平面A1B1C1.②设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由①可知＝(0，2，1)，＝(1，，0)，＝(0，0，2)．设平面ABB1的法向量n＝(x，y，z)．由即可取n＝(－，1，0)．所以sinθ＝

12、cos，n

13、＝＝.因此，直

14、线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.(1)利用空间向量证明平行与垂直的步骤-24-①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系．②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．③通过空间向量的运算研究平行、垂直关系．④根据运算结果解释相关问题．(2)运用空间向量求空间角的一般步骤①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．(3)求空间角的注意点①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝

15、

16、cosβ

17、.②所求的二面角不一定是两平面的法向量的夹角，有可能为两法向量夹角的补角．　[对点训练]1．(2019·绍兴市柯桥区高三期中考试)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BE⊥CE，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求GF与平面ABE所成角的正切值．解：(1)证明：如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB，又F是CD中点，所以DF＝CD，由四边形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥D

18、F，且GH＝DF.所以四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH，又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.(2)如图，在平面BEC内，过B作BQ∥EC，因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE，又