浙江专用2019高考数学二轮复习专题二立体几何第3讲空间角学案

《浙江专用2019高考数学二轮复习专题二立体几何第3讲空间角学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3讲　空间角[考情考向分析]　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具．热点一　异面直线所成的角(1)几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形．(2)向量法：设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．设l，m的夹角为θ，则cosθ＝＝.例1　(1)(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与D

2、B1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　方法一　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝.故选C.方法二　如图，以点

3、D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.由题意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，∴＝(－1,0，)，＝(1,1，)，∴·＝－1×1＋0×1＋()2＝2，

4、

5、＝2，

6、

7、＝，∴cos〈，〉＝＝＝.故选C.(2)(2018·浙江省杭州二中月考)已知异面直线a，b所成的角为50°，过空间一定点P最多可作n条直线与直线a，b均成θ角，则下列判断不正确的是(　　)A．当θ＝65°时，n＝3B．当n＝1时，θ只能为25°C．当θ＝30°时，n

8、＝2D．当θ＝75°时，n＝4答案　B解析　将空间直线平移，异面直线的夹角不变，则可将异面直线a，b平移到同一平面α内，使得点P为平移后的直线a′，b′的交点，则当0°≤θ<25°时，n＝0；当θ＝25°时，n＝1，此时该直线为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线；当25°<θ<65°时，n＝2，此时这两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线；当θ＝65°时，n＝3，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线，另一条直线为直线a′，b′所成钝角的角平分

9、线所在的直线；当65°<θ<90°时，n＝4，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线，另外两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成钝角的角平分线所在的直线；当θ＝90°时，n＝1，此时直线为过点P且与平面α垂直的直线．综上所述，B选项的说法错误，故选B.思维升华　(1)运用几何法求异面直线所成的角一般是按找—证—求的步骤进行．(2)两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝

10、cosβ

11、.跟踪演练1　(2018·浙江省衢州二中模拟)如图，已知等腰三角形AB

12、C中，AB＝AC，O为BC的中点，动点P在线段OB上(不含端点)，记∠APC＝θ，现将△APC沿AP折起至△APC′，记异面直线BC′与AP所成的角为α，则下列结论一定成立的是(　　)A．θ>αB．θ<αC．θ＋α>D．θ＋α<答案　A解析　设＝λ，则cosθ＝＝＝＝，因为cosα＝＝，且·＝·，

13、

14、＋

15、

16、＝

17、

18、＋

19、

20、>

21、

22、，所以cosθα，故选A.热点二　直线与平面所成的角(1)几何法：按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影)，解三角形．(2)向量法：设直线l的方向向量

23、为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝＝

24、cos〈a，μ〉

25、.例2　(2018·浙江省名校协作体联考)在如图所示的几何体中，平面DAE⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，四边形DCFE为菱形．已知AB∥CD，∠ABC＝60°，CD＝AB＝1.(1)线段AC上是否存在一点N，使得AE∥平面FDN？证明你的结论；(2)若线段FC在平面ABCD上的投影长度为，求直线AC与平面ADF所成角的正弦值．解　(1)在线段AC上存在点N，使得AE∥平面FDN

26、，且N是AC的中点．如图，取AC的中点N，连接NF，DN，连接EC交DF于点O，连接ON.∵四边形CDEF为菱形，∴O为EC的中点．在△ACE中，由中位线定理可得ON∥AE.∵ON⊂平面FDN，AE⊄平面FDN，∴AE∥平面FDN，∴在线段AC上存在点N，使得AE∥平面FDN，且N是AC的中点．(2)方法一　∵DE∥CF，∴DE在