浙江专用2019高考数学二轮复习专题二立体几何第2讲立体几何中的空间角问题学案

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1、第2讲　立体几何中的空间角问题高考定位　以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解.真题感悟(2018·浙江卷)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.法一　(1)证明　由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2

2、，AA1⊥AB，BB1⊥AB得AB1＝A1B1＝2，所以A1B＋AB＝AA，所以AB1⊥A1B1.由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC得B1C1＝，由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°得AC＝2，由CC1⊥AC，得AC1＝，所以AB＋B1C＝AC，故AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1＝B1，因此AB1⊥平面A1B1C1.(2)解　如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.由AB1⊥平面A1B1C1，AB1平面ABB1，得平面A1B1C1⊥平面ABB1，由C1D⊥A1B1得C1D⊥平面ABB1

3、，所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.由B1C1＝，A1B1＝2，A1C1＝得cos∠C1A1B1＝，sin∠C1A1B1＝，所以C1D＝，故sin∠C1AD＝＝.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.法二　(1)证明　如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：21A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1).因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3).由·＝0得AB1⊥A1B1.由·＝

4、0得AB1⊥A1C1.所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)解　设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知＝(0，2，1)，＝(1，，0)，＝(0，0，2).设平面ABB1的法向量n＝(x，y，z).由即可取n＝(－，1，0).所以sinθ＝

5、cos〈，n〉

6、＝＝.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.考点整合1.求异面直线所成角的方法方法一：几何法.用几何法求两条异面直线所成角的步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来

7、求角.方法二：空间向量法.用空间向量法求两条异面直线a，b所成角θ的步骤为：①求出直线a，b的方向向量，分别记为m，n；②计算cos〈m，n〉＝；③利用cosθ＝

8、cos〈m，n〉

9、，以及θ∈(0°，90°]，求出角θ.2.求直线与平面所成角的方法方法一：几何法.用几何法求直线l与平面α所成角的步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.方法二：空间向量法.用空间向量法求直线AB与平面α所成角θ的步骤为：①求出平面α21的法向量n与直线AB的方向向量；②计算cos〈，n〉＝

10、；③利用sinθ＝

11、cos〈，n〉

12、，以及θ∈[0°，90°]，求出角θ.3.求二面角的方法方法一：几何法.用几何法求二面角α-l-β的平面角θ的步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.方法二：空间向量法.用空间向量法求二面角αlβ的平面角θ的步骤为：①求两个半平面α，β的法向量m，n；②计算cos〈m，n〉＝

13、；③根据图形和计算结果判断θ是锐角、直角，还是钝角，从而得出θ与〈m，n〉是相等关系还是互补关系.热点一　求线线角【例1】　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB＝2，AD＝2，PA＝2，求异面直线BC与AE所成角的大小.解　法一　如图1，取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.在△AEF中，由EF＝，AF＝，AE＝2，知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝.因此，异面直线BC与AE所成角的大小是.　　　　　　　图1　　　　　　图

14、2法二　如图2，建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(1，，1)，＝(1，，1)，＝(0，2，0).21设与的夹