2018高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理（1）学案 苏教版选修1 -2

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1、2．1.1　合情推理[学习目标]　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答　归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答　一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理(1)定义：从个别事实中推演出一般性

2、的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．(2)归纳推理的特点：①归纳推理是从特殊到一般的推理；②由归纳推理得到的结论不一定正确；③归纳推理是一种具有创造性的推理．2．类比推理(1)类比推理的定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)类比推理的思维过程：→→3．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理．要点一　归纳推理的应用例1　观

3、察如图所示的“三角数阵”　　　　　　1…………第1行　　　　2　2…………第2行　　　3　4　3…………第3行　　　　4　7　7　4…………第4行　　51114115…………第5行　…………　　　　　　　　　　　　　　　记第n(n＞1)行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出an＋1与an的关系式．解　由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩

4、膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：an＋1＝an＋n.规律方法　对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1　根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；(2)a1＝a，an＋1＝；(3)对一切n∈N*，an>0，且2＝an＋1.解　(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3

5、＋1＝7＝23－1，a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.(2)由已知可得a1＝a，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝(n∈N*)．(3)∵2＝an＋1，∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1，∴a1＝1.又2＝a2＋1，∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0.∵对一切n∈N*，an>0，∴a2＝3.同理可求得a3＝5，a4＝7，猜想出an＝2n－1(n∈N*)．要点二　类比推理的应用例2　如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．

6、类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解　如右图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.规律方法　(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形的类比：平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三

7、角形四面体跟踪演练2　已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率k＝.类比上述方法求出双曲线x2－＝1在P(，)处的切线方程为________．答案　2x－y－＝0解析　将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′＝，即过P的切线的斜率k＝，由于P(，)，故切线