2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.5.1 平行关系的判定学案 北师大版必修2

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1、5.1　平行关系的判定学习目标　1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义(重点)；2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用(重点)；3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题(重、难点).知识点一　直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行【预习评价】　若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？提示　根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误，可能直线在平面

2、内.知识点二　平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行⇒α∥β【预习评价】如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？提示　不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一　直线与平面平行的判定定理的应用【例1】　如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.证明　(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⃘平面BCD，BD平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)

3、∵BD∥EH，BD⃘平面EFGH，EH平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.规律方法　(1)利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.(2)证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.【训练1】　已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图).求证：PQ∥平面CBE.证明　方法一　作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，则PM∥QN，＝，＝.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又A

4、B＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又PQ⃘平面CBE，MN平面CBE，∴PQ∥平面CBE.方法二　如图所示，连接AQ并延长交BC的延长线于K，连接EK.∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴＝，又AD∥BK，∴＝，∴＝，∴PQ∥EK，又PQ⃘平面CBE，EK平面CBE，∴PQ∥平面CBE.题型二　面面平行判定定理的应用【例2】　如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.证明　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ

5、∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP平面PBC，NQ⃘平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC平面PBC，MQ⃘平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.规律方法　(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.【训练2】　如图，在正方体ABCD－A1B1

6、C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明　如图所示，连接B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD，又PN⃘平面A1BD，BD平面A1BD，∴PN∥平面A1BD，同理可得MN∥平面A1BD，又∵MN∩PN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.【探究1】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点.问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由.解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PA

7、O.理由如下：连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴QB∥PA.又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.【探究2】　如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD.E为棱AD的中点.在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由.解　在梯形ABCD中，AB与CD不平行，且BC的长小于AD的长.如图所示，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M为所