2018-2019学年高中数学 课时跟踪检测（二十）生活中的优化问题举例（含解析）新人教A版选修1 -1

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1、课时跟踪检测（二十）生活中的优化问题举例层级一　学业水平达标1．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)A．8　　　　　　　　　　　B.C．－1D．－8解析：选C　瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.2．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的

2、关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(　　)A．6时B．7时C．8时D．9时解析：选C　y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，则当6≤t<8时，y′>0，当8

3、)＝.令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，∴当x＝6时，S(x)最小．∴S＝＝2(cm2)．4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)A．100B．150C．200D．300解析：选D　由题意，总成本为：C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．5．某工厂要建造一个长方体的无盖

4、箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为(　　)A．900元B．840元C．818元D．816元解析：选D　设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底的面积为＝16(m2)，则长为xm的一边的邻边长度为m，l＝16×15＋×12＝240＋72，所以l′＝72.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)，当0＜x＜4时，l′＜0；当x＞4时，l′＞0.故当x＝4时，l有极小值，也是最小值，且最小值为816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．6．某公司在甲、

5、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.∴当x＝10时，L有最大值45.6.答案：45.67．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为______．解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2

6、h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.当00；当0)，y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝

7、25时，y取最大值．答案：259.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为xm，则宽为m，绿化区域的总面积为S(x)m2.则S(x)＝(x－6)＝2424－＝2424－4，x∈(6,600)．∴S′(x)＝－4＝.令S′(