2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例一、题组对点训练对点练一　面积、体积的最值问题1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(　　)A．3πB．3πC．3πD．3π解析：选A　设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2l－2πr3.则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，∴r＝是其唯一的极值点．当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.2．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再

2、沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．　由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取

3、得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.对点练二　成本最低(费用最省)问题3．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　)A．6mB．8mC．4mD．2m解析：选C　设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x

4、2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．4．某公司一年购买某种货物2000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋x2＝＋x2，令f′(x)＝x－＝0，解得x＝20.且当020时f′(x)>0，故x＝20时，f(x)最小．答案：205．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位

5、：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，求x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)解：依题意有xy＋x·＝8，∴y＝－(00.∴当x＝8－4时，L(x)取得最小值，此时x＝8－4≈2.343(m)，y＝2≈2.828(m)．故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．对

6、点练三　利润最大问题6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：选C　因为y′＝－x2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p

7、有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)(　　)A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：选D　设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，

8、根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,