高中数学《生活中的优化问题举例》学案1 新人教a版选修1-1

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1、§3.4生活中的优化问题举例【成功细节】（2007年重庆市文科20题）用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？本节主要研究导数在实际生活中的应用，在学习时，我认为应该注意以下几个方面的细节：（1）要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域；（2要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答；（3）求实际问题的最值时，

2、一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去；（4）在实际问题中，有常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。如，本题主要考查长方体体积的计算以及用导数解决最值问题，可设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-

3、6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。【粗读·概括】1.认真阅读教材中的例题,从中提炼解答优化问题的解题步骤.【高效预习】（核心栏目）【关注.思考】1.了解优化问题的类型；2.实际问题中为什么极值点一般就是最值点.【学习细节】（核心栏目）A．基础知识一、利用导数解决生活中的优化问题【情景引入】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利

4、用导数，解决一些生活中的优化问题．【例题1】海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？【引导】先建立目标函数，然后利用导数求最值.解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为。求导数，得。令，解得舍去）。于是宽为。当时，<0；当时，>0.因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为

5、16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。【思考】在课本例1中，“是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？【探究】在实际问题中，由于=0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。由课本例1可得，。，。【例题2】饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单

6、位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？　　（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【引导】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是令解得（舍去）当时，；当时，．当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润越低．（1）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为cm时，利润最

7、大．【引导】我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：。图象如图，能否根据它的图象说出其实际意义？【探究】当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm时，利润最小；当时，为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2cm时，瓶子的半径越大，利润越大。特别的，当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等，时，利润才为正值．当时，，即瓶子的半径为2cm时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子的成本，此时利润是负值。【例题2】磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁

8、性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，