2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 本讲知识归纳与达标验收讲义（含解析）新人教A版选修4-5

《2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 本讲知识归纳与达标验收讲义（含解析）新人教A版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一讲不等式和绝对值不等式考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．真题体验1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝

2、x＋1

3、－

4、x－2

5、.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围

6、．解：(1)f(x)＝当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x

7、x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤

8、x＋1

9、－

10、x－2

11、－x2＋x.而

12、x＋1

13、－

14、x－2

15、－x2＋x≤

16、x

17、＋1＋

18、x

19、－2－x2＋

20、x

21、＝－2＋≤，且当x＝时，

22、x＋1

23、－

24、x－2

25、－x2＋x＝.故m的取值范围为.2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝

26、x＋

27、1

28、＋

29、x－1

30、.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋

31、x＋1

32、＋

33、x－1

34、－4≤0.　①当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为.(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2.所以f(x)≥g(x)的

35、解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．3．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝

36、x＋1

37、－

38、2x－3

39、.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式

40、f(x)

41、>1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时

42、，可得x＝或x＝5.故f(x)>1的解集为{x

43、1

44、f(x)

45、>1的解集为.4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝

46、x＋1

47、－2

48、x－a

49、，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)>1化为

50、x＋1

51、－2

52、x－1

53、－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得

54、－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．不等式的基本性质利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，或利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．[例1]　“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的(　　)A．必要不充分条件　B．充分不必要

55、条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]　易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d时，不一定有a>b且c>d，如a＝4，c＝1，b＝d＝2时，a＋c＞b＋d，但c＜d，故选A.[答案]　A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为定值时，积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．[例2]　若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)A．1B.C．9D．16[解析]　＋＝＝

56、≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.[答案]　B[例3]　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.[证明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)