2019-2020年高中数学 3.3.3函数的最大（小）值与导数学案 新人教A版选修1-1

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1、2019-2020年高中数学3.3.3函数的最大（小）值与导数学案新人教A版选修1-1►基础梳理1．函数的最大值与最小值．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．极值与最值的区别与联系：(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一

2、点附近的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所研究问题的整体性质；(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值．因此函数极值的判断是关键，如果仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以根据函数的单调性求最值．,►自测自评1．函数f(x)＝x3－3x(

3、x

4、＜1)(C)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析：f′(x)＝3x2－3.当

5、x

6、＜1，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－

7、1，1)上单调递减，故选C.2．函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是4，－4．解析：令f′(x)＝－2x＋4＝0，则x＝2，f(x)在[3，5]上是单调函数，排除f(2)，比较f(3)，f(5)，即得．3．函数y＝xlnx在[1，3]内的最小值为0．解析：y′＝lnx＋1，∵x∈[1，3]，∴y′＞0，∴函数y＝xlnx在[1，3]内是递增函数，∴当x＝1时，ymin＝0.1.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(C)A．1，－1　　　　　　　　B．1，－17C．3，－17D．9，－1

8、9解析：根据求最值的步骤，直接计算即可得答案为C.2．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1，1]，则导函数f′(x)是(D)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数解析：求导可得f′(x)＝x＋sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx，当x∈[－1，1]时，h′(x)＞0，所以h(x)在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D.3．函数f(x)＝x2＋ax＋

9、1在点[0，1]上的最大值为f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：依题意有：f(0)≥f(1)，即1≥2＋a，所以a≤－1.答案：(－∞，－1]4．求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x，x∈[－1，1]；(2)f(x)＝(x－1)(x－2)2，x∈[0，3]，解析：(1)当x∈[－1，1]时，f′(x)＝3x2＋2＞0，则f(x)＝x3＋2x在x∈[－1，1]上单调递增．因而f(x)的最小值时f(－1)＝－3，最大值是f(1)＝3.(2)因为f(x)＝(x－1)(x－2)2＝x3－5x2＋8x－4，所以f′(x)＝(3x－4)(x

10、－2)令f′(x)＝(3x－4)(x－2)＝0，得x＝或x＝2，∵f(0)＝－4，f＝，f(2)＝0，f(3)＝2，∴f(x)的最大值是2，最小值时－4.5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，求f(m)＋f′(n)的最小值．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)m

11、in＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1.∴当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.1．函数f(x)＝x3＋在(0，＋∞)上的最小值是(A)A．4B．5C．3D．12．当x∈[－1，2]时，x3－x2－2x＜m恒成立，则实数m的取值范围是(B)A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2]D．(－∞，2)解析：这是函数最值的简单应用，令f(x)＝x3－x2－2x，x∈[－1，2]，则问题转化为求f(x)得最大值，不难求得f(x)max＝f(2)＝2，则

12、m＞2.3．函数y＝的最大值为(A)A．e－1B．eC．e2D.解析：令y′＝＝