2018-2019学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充讲义（含解析）苏教版选修2-2

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1、3．1数系的扩充复数的概念及代数表示法问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有解．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解，x＝i.问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？提示：C＝{a＋bi

2、a，b∈R}．1．虚数单位i我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：(1)i2＝－1.(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．

3、复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.3．复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.复数的分类问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？提示：当b＝0时，z＝a为实数．问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，z是什么数？提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b≠0，z＝bi为纯虚数．1．复数z＝a＋bi2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，

4、否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．复数的概念[例1]　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[思路点拨]　分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．[精解详析]　(1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)要使z是纯虚数，m需

5、满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.[一点通]　z＝a＋bi(a，b∈R)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i是纯虚数，∴∴x＝－1.答案：－12．已知复数2＋，i,0i,5i＋8，i(1－)，i2，其中纯虚数的个数为________．解析：∵0i＝0，i2＝－1，∴纯虚数有i，i.答案：23．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数？(2)虚

6、数？(3)纯虚数？解：(1)当即m＝2时，复数z是实数；(2)当m2－2m≠0，即m≠0.且m≠2时，复数z是虚数；(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．复数相等的充要条件[例2]　已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．[思路点拨]　因为M∪P＝P，所以MP，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值．[精解详析]　∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，且M∪P＝P.∴MP，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.

7、∴或∴m＝1或m＝2.[一点通]　(1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．4．当关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝________.解析：设实根为x0，则x＋x0＋2x0i＋3m＋i＝0.即x＋x0＋3m＋(2x0＋1)i＝0.∴∴m＝.答案：5．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．解：∵x，y为实数，∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定

8、义，知∴6．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．解：设n＝bi(b∈R且b≠0)由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，∴　∴∴m的值为2，n的值为i.复数概念的综合应用　　[例3]　若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．[思路点拨]　→→→.[精解详析]　∵m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10，∴解上式得：m＝3.[一点通]　不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(

9、组)求解．