2019-2020年高考数学大一轮复习 13.3数学归纳法试题 理 苏教版

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1、2019-2020年高考数学大一轮复习13.3数学归纳法试题理苏教版一、填空题1．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．答案：5n＋12．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)23．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)·an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．答案：an＝4．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an

2、－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________．解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2.答案n25．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上________．解析　∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.答案　(k2＋1)＋(k2＋2

3、)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)26．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析　∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)27．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取________．解析　右边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知

4、n的最小值是8.答案　88．观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．解析3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋＞.答案1＋＋＋…＋＞9．在数列{an}中，a1＝且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．解析　当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝(a1＋a2)＝；当n＝4时，a1＋a2

5、＋a3＋a4＝28a4，即a4＝(a1＋a2＋a3)＝.∴a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，故猜想an＝.答案　an＝10．已知Sn＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2，当n分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析　当n＝1时，S1＝12＝1＝(－1)1－1·当n＝2时，S2＝12－22＝－3＝(－1)2－1·当n＝3时，S3＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·当n＝4时，S4＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·　∴猜想Sn＝(－1

6、)n－1·.答案　1，－3,6，－10　(－1)n－1·二、解答题11．已知数列{an}满足an＋1＝－a＋pan(p∈R)，且a1∈(0,2)，试猜想p的最小值，使得an∈(0,2)对n∈N*恒成立，并给出证明．证明　当n＝1时，a2＝－a＋pa1＝a1(－a1＋p)．因为a1∈(0,2)，所以欲使a2∈(0,2)恒成立，则要恒成立，解得2≤p≤2，由此猜想p的最小值为2.因为p≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p＝2时，an∈(0,2)对n∈N*恒成立．现用数学归纳法证明：①当n＝1时结论显然成立；②假设当

7、n＝k时结论成立，即ak∈(0,2)，则当n＝k＋1时，ak＋1＝－a＋2ak＝ak(2－ak)，一方面，ak＋1＝ak(2－ak)＞0成立，另一方面，ak＋1＝ak(2－ak)＝－(ak－1)2＋1≤1＜2，所以ak＋1∈(0,2)，即当n＝k＋1时结论也成立．由①②可知，猜想成立，即p的最小值为2.12．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，….(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．解(1)当n＝1时，x2－a1x－a1

8、＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是－a2－a2＝0，解得a2＝.(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①由(1)得S1＝a1＝，