2018版高考数学一轮复习 选修系列 13.3 数学归纳法 理

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1、选修系列13.3数学归纳法理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　×　)(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　)(3)用数学归纳法证明问

2、题时，归纳假设可以不用．(　×　)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　×　)(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　)(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　)1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案　C解析　当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1

3、＋a2＝1＋a＋a2.2．(2016·黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2(＋＋…＋)时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立答案　B解析　因为n为正偶数，n＝k时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立．3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1B．2C．3D．0答案　C解析　凸

4、n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2答案　D解析　等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故n＝k＋1时，最后一项是(k＋1)2，而n＝k时，最后一项是k2，应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.5．(教材改编)已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝__

5、______，a4＝________，猜想an＝________.答案　3　4　5　n＋1题型一　用数学归纳法证明等式例1　设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明　①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2(1＋－1)＝1，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k

6、＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论成立．由①②可知当n∈N*时，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．思维升华　用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．　用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)．证明　①当n＝1时，左边＝＝，右

7、边＝＝，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．即＋＋…＋＝，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．即对所有n∈N*，原式都成立．题型二　用数学归纳法证明不等式例2　(2016·烟台模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．(1)解　由题意，Sn＝bn＋r

8、，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，所以＝