1.【苏教版高考数学复习导航(第1轮)理】 数学归纳法

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1、第三章数列、推理与证明数学归纳法第24讲数学归纳法在证明等式中的应用【例1】是否存在常数a、b、c使得等式。1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数n都成立？证明你的结论.用数学归纳法证明：1·22+2·32+…+n(n+1)2=(3n2+11n+10).①当n=1时，等式自然成立；②假设n=k(k∈N*)时，等式成立，即1·22+2·32+…+k(k+1)2=(3k2+11k+10).那么当n=k+1时，左边=1·22+2·32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2,=(3k+5)(

2、k+2)+(k+1)(k+2)2=［k(3k+5)+12(k+2)］=(3k2+17k+24)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］=右边.所以当n=k+1时，等式成立.由①②知，等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=·(an2+bn+c)对一切正整数n都成立.点评用数学归纳法证明等式时，要清楚等式两边的结构，特别是由n＝k到n＝k＋1等式两边发生了怎样的变化，项数增加了多少项，这是正确解答问题的关键．【变式练习1】用数学归纳法证明：【证明】(1)当n=1时，左边=右边=，命题成立(2)假设n=k时，命题成立，即

3、.那么当n=k+1时，左边数学归纳法在证明整除问题中的应用【例2】用数学归纳法证明：1－(3＋x)n(n∈N*)能够被x＋2整除．点评整除问题的证明一般是将n＝k＋1时的结论设法用n＝k时的结论表示，然后应用归纳假设证明n＝k＋1时命题成立．数学归纳法在证明不等式中的应用当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立.下面用数学归纳法证明“当x>-1，且x≠0时，(1+x)m>1+mx(*)对m≥2,m∈N*成立”.(1)当m=2时，左边=1＋2x＋x2，右边=1＋2x.因为x≠0，所以x2>0，即左边＞右边，不等式(*)成立

4、；(2)假设当m=k(k≥2,k∈N*)时，不等式(*)成立，即(1+x)k>1+kx.则当m=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0.又因为x≠0,k≥0，所以kx2>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x,得(1+x)(1+x)k>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x，所以(1+x)k+1>1+(k+1)x.即当m=k+1时，不等式(*)也成立.综上(1)(2)所述，所证不等式成立.点评用数学归纳法证明函数中的不等式，首先要弄清楚谁是变量，作为函数，自变量x是变量，但在归纳

5、法的应用中，与自然数有关的量才是数学归纳法要研究的变量；其次在应用归纳假设时，要对不等式作适当的放缩转化，确保向目标前进.若(n∈N*)，求证：.①当n=1时，a1=,则,即当n=1时，不等式成立.②假设n=k时，不等式成立，即.则当n=k+1时，故当n=k+1时，不等式仍成立.综合①②知不等式对n∈N*都成立.数学归纳法在数列问题中的应用点评数学归纳法在解决有关数列问题时发挥着很大的作用．数列是关于自然数的命题，由数列的递推关系，可以对结果进行推测和猜想，对猜想的结论进行合理证明，数学归纳法是最佳的工具．本题联系等差数列

6、、等比数列，考查了数学归纳法的应用和综合运用数学知识进行归纳、推理、论证的能力．数学归纳法在几何问题中的应用5①当n=1时，一个圆把平面分成两部分，又f(1)=2，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分，那么当n=k+1时，第k+1个圆与原来k个圆都相交于两点，且无任意三圆相交于同一点，于是第k+1个圆与前k个圆有2k个交点，因此第k+1个圆被分成2k段弧，每段弧把原区域分成两部分，因此平面区域在原基础上增加了2k块,于是f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1

7、)2即当n=k+1时，命题成立.由①②知，命题对任意正整数都成立.点评用数学归纳法证明几何问题，关键是第二步中由k到k+1的变化情况.通过几何说理，来完成算式推理，借助于几何特征和图形的直观性来建立k与k+1的递推关系.所以f(3)=4+3=7；当n=4时，四条直线把平面分成11个部分，所以f(4)=7+4=11.猜想f(n)=f(n-1)+n.当n=2,3,4,…,n时，得到(n-1)个式子，相加得f(n)=n(n+1)+1.用数学归纳法证明：当n=1时，f(1)=×1×(1+1)+1=2，结论成立；②假设n=k时，结论

8、成立，即k条直线把平面分成f(k)=k(k+1)+1个部分，那么当n=k+1时，第k+1条直线与原来k条直线有k个交点，这k个交点把第k+1条直线分成(k+1)段，每一段将原区域分成两部分，因此平面区域在原基础上增加了(k+1)块.于是f(k+1)=f(k)+k+1=k(k+1)+1+(k+1)=(k+