1.3.1利用导数判断函数的单调性

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1、（2014年福建卷21题）已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.（Ⅰ）求的值及函数的极值；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.解答：（Ⅰ）点，，，由已知，所以.所以，..令，得.当时，；当时，.所以在上是减函数；在上是增函数.所以有极小值.（Ⅱ）因为，所以，由（Ⅰ）知，当时，恒大于.即.所以，所以当时，.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，所以，所以.所以，对任意给定的正数，取，则当时，，即.3练习：已知函数有两个零点，求实数的取值范围.解答：（解法一）易知在上是增函数，且.所以，在单调递减，在单

2、调递增.所以，的最小值为.由题意有两个零点，所以，所以，.当时，，因此，若，则，则在无零点，则在上至多有一个零点，不符合题意.所以.所以.此时，因为，所以在上有一个零点.当时，由则所以所以所以所以所以.取则所以在上有一个零点.所以在上有两个零点.综上，有两个零点时，的取值范围是.3练习：已知函数有两个零点，求实数的取值范围.解答：（解法二）.构造函数.有两个零点当且仅当有两个零点..（ⅰ）当时，，所以在上单调递增，因此，至多有一个零点.（ⅱ）当时，可知当时，；当时，.所以在上单调递减；在上单调递增.所以在上的最小值为.①若，即，则在没有零点；②

3、若，即，则在只有一个零点；③若，即，这时，由于，所以在有一个零点.因为当时，，所以，所以，所以，所以.所以.取，则.所以在有一个零点.因此当时，有两个零点.综上，有两个零点时，的取值范围是.3