江西专用2019中考数学总复习第二部分专题综合强化专题四特殊图形的计算与证明类型3针对训练

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1、第二部分　专题四类型三1．(xx·辽宁)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若sin∠EFA＝，AF＝5，求线段AC的长．　　　　(1)证明：如答图，连接OE.∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE.∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴∠CAE＝∠OEA，∴AC∥OE.∵∠C＝90°，∴∠OEC＝90°，∴OE⊥BC，∴BC是⊙O的

2、切线．(2)解：如答图，连接OF，DF.∵EF平分∠DEA，∴DF＝AF＝5.∵AD为⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∴AD＝10.∵sin∠EFA＝，∴cos∠EAD＝＝，∴AE＝8.∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴△CAE∽△EAD，∴＝，∴AC＝6.4.2．(xx·赣州教研联盟考试)如图1，已知∠MPN的角平分线PF经过圆心O交⊙O于点E，F，PN是⊙O的切线，B为切点．(1)求证：PM是⊙O的切线；(2)如图2，在(1)的前提下，设切线PM与⊙O的切点为A，连接AB交PF于点D，连接

3、AO并延长交⊙O于点C，连接BC，AF，记∠PFA为α.①若BC＝6，tanα＝，求线段AD的长；②小华探究图2之后发现：EF2＝m·OD·OP(m为正整数)，请你猜想m的数值，并证明你的猜想．　　(1)证明：如答图，过点O作OA⊥PM，垂足为A，连接OB.∵PN是⊙O的切线，B为切点，∴OB是⊙O的半径，且OB⊥PN.∵∠1＝∠2，且OA⊥PM，OB⊥PN，∴OA＝OB，∴PM是⊙O的切线．第2题答图(2)解：①∵PM，PN都是⊙O的切线，∴PA＝PB，且∠1＝∠2，∴OP⊥AB，∴BD＝AD.∵OD

4、是Rt△ABC的中位线，∴OD＝BC＝3.设⊙O的半径为r，则FD＝r＋3.∵tanα＝＝，∴AD＝(r＋3)．在Rt△AOD中，OA2＝r2＝[(r＋3)]2＋32，解得r＝5，∴AD＝(r＋3)＝4.②猜想m＝4.证明如下：∵∠OAP＝∠ODA＝90°，∠POA＝∠AOD，∴Rt△OAP∽Rt△ODA，∴＝，而OA＝EF，∴EF2＝4·OD·OP，即m＝4.3．(xx·抚州八校联谊考试)如图，点E是以AD为直径的半圆O上的一动点(不与点A，D重合)，连接DE并延长到B，使得BE＝DE；连接AE并延长

5、到C，使得CE＝AE，连接AB，BC，CD.(1)如图1，当点E为半圆的中点时，求证：四边形ABCD为正方形；(2)当点E不是半圆的中点时，四边形ABCD是什么特殊四边形？请直接写出；(3)若BC的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝4，求的长．图1　　备用图第3题图(1)证明：∵点E为半圆O的中点，∴DE＝AE.∵BE＝DE，CE＝AE，∴BE＝DE＝CE＝AE，∴四边形ABCD为矩形．∵AD为半圆O的直径，∴∠AED＝90°，∴四边形ABCD为正方形．(2)解：四边形ABCD是菱形．第3题答图1(3

6、)解：当点E在答图1的位置时，设切点为F，连接OF，过点C作CG⊥DA交AD于点G.∵四边形ABCD为菱形，AD＝4，∴CD＝AD＝4，BF∥AD.又∵BF与⊙O相切，CG⊥AD，∴CG＝OF＝2.∵在Rt△CDG中，sin∠CDG＝＝＝，∴∠CDG＝30°.∵O，E分别是AD，AC的中点，连接OE，∴OE∥CD，第3题答图2∴∠AOE＝∠CDG＝30°，∴的长为＝π.当点E在答图2的位置时，由上可知，的长为2π－＝π.∴的长为π或π.