2019-2020年高考数学专题复习 专题12 选修系列 第82练 矩阵与变换练习 理

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1、2019-2020年高考数学专题复习专题12选修系列第82练矩阵与变换练习理训练目标了解简单矩阵与变换的思想与应用．训练题型(1)矩阵运算及逆矩阵的应用；(2)变换的应用；(3)特征值与特征向量的应用．解题策略根据教材上相关内容，理解记忆，无需追求难度，掌握基本概念即可.2．(xx·南通、扬州、淮安、连云港二模)已知是矩阵M＝的一个特征向量，求实数a的值．3．(xx·南通二模)已知二阶矩阵M有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e1＝，且M＝.求矩阵M.4．(xx·南京三模)已知矩阵A＝(k≠0)的一个特征向量α＝，A的逆矩阵A－1

2、对应的变换将点(3,1)变为点(1,1)．求实数a，k的值．5．(xx·宿迁三校调研)已知矩阵A＝属于特征值λ的一个特征向量为a＝.(1)求实数b的值；(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x2＋2y2＝2，求曲线C的方程．6．(xx·南京、盐城一模)设矩阵M＝的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2＋y2＝1，求曲线C的方程．答案精析1．解　矩阵A的特征多项式f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ＝2时，特征方程组为故属于特征值2的一个特征向量α1＝；当λ＝3时

3、，特征方程组为故属于特征值3的一个特征向量α2＝.2．解　设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则＝λ，故解得3．解　设M＝，则由＝，得再由＝，得联立以上方程解得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故M＝.4．解　设特征向量α＝对应的特征值为λ，则＝λ，即因为k≠0，所以a＝2.因为A－1＝，所以A＝，即＝，所以2＋k＝3，解得k＝1.综上，a＝2，k＝1.5．解　(1)因为矩阵A＝属于特征值λ的一个特征向量为a＝，所以＝λ，即＝.从而解得b＝0，λ＝2.(2)由(1)知，A＝.设曲线C上任一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用后变

4、为曲线C′上一点P(x0，y0)，则＝＝，从而因为点P在曲线C′上，所以x＋2y＝2，即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，从而3x2＋6xy＋9y2＝1.所以曲线C的方程为3x2＋6xy＋9y2＝1.6．解　由题意，知矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因为矩阵M有一个特征值为2，所以f(2)＝0，所以a＝2.设曲线C上任一点的坐标为(x，y)，其在矩阵M的变换下的对应点的坐标为(x′，y′)．所以M＝＝，即因为曲线C在矩阵M变换下的方程为x2＋y2＝1，所以(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲线C的方程为8x2

5、＋4xy＋y2＝1.