离散数学第二版答案(6-7章)

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1、第六章代数系统6.1第129页1．证明：任取，，因此，二元运算*是可交换的；任取，因此，运算*是可结合的。该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。2．证明：任取，由知，，*运算不是可交换的。任取，由，知，，*运算是可结合的。任取，，可知N中的所有元素都是等幂的。*运算有右么元，任取，，知N中的所有元素都是右么元。*运算没有左么元。证明：采用反证法。假定为*运算的左么元，取，由*的运算公式知，由么元的性质知，，得，这与相矛盾，因此，*运算没有左么元。3．解：①任取因此对于任意的都有，即二元运算*是可交换的。②任取因此对于任意的，都有，即二元运

2、算*是可结合的。③设幺元为，则，即幺元为1.④对于所有的元素，都有，所以所有元素都是等幂的。4．解：设①设是上的二元运算，则是一个从的映射。求上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。由于，映射的个数为，即上有个二元运算。②可交换即设集合，要求上可交换的二元运算的个数，即相当于求映射的个数，，其中：具体如下图所示：此时映射的个数推广到有个元素时，映射的个数③单位元素即幺元，若存在必唯一。设集合，若幺元为1，则有此时的二元运算的个数相当于求映射的个数，其中：映射的个数为幺元为2，3，4时同理，因此集合上有个有单位元素的二元运算。推广到有个元素时，具有单位元素的二

3、元运算的个数为。5．解：任取①对于任意的都有，故二元运算*是可交换的。若，，此时故二元运算*是不可结合的。不存在这样使得任意的都有，因此，二元运算*不含幺元。②对于任意的都有，故二元运算*是可交换的。故二元运算*是不可结合的。不存在这样使得任意的都有，因此，二元运算*不含幺元。③因此，二元运算*是不可交换的。故二元运算*是不可结合的。由于二元运算*不是可交换的，所以不存在这样使得任意的都有，因此，二元运算*不含幺元。6．设是中的任意元素。由于二元运算*是可结合的，故又对于任意的，若，则故即对于中的任意元素，都有，所以中的每一个元素都是等幂的。6.2第137页4．证

4、明：首先，U和V都只含有一个二元运算，因此是同类型的；第二，的定义域是自然数集合，值域是，是V定义域的子集。第三，验证是否运算的像等于像的运算。任取，分情况讨论：（1）x和y都可以表示成，设，那么，（1）x和y都不能表示成，那么也不能表示成,（2）x可以表示成，y不能表示成，那么也不能表示成,（3）x不可以表示成，y能表示成，那么也不能表示成,可知，无论x和y如何取值，都能够保证。综上所述，是U到V的同态映射。5．证明：设，首先，U和V都仅有一个二元运算，因此U和V是同类型的；第二，U和V的定义域大小相同，具备构成双射函数的条件；第三，寻找特异元素，U中么元是a，

5、右零元是c，三个元素都是等幂元；V中么元是3，右零元是1，三个元素都是等幂元。第四，在U和V的定义域之间构造双射函数，使得。把*运算表中的元素都用f下的像点代替，得321321321222111调整表头的顺序为1，2，3，转变为下表123123111222123跟V中运算表完全相同，因此代数系统和是同构的。6.证明：(1)两个代数系统都只存在一个二元运算，故满足同型。(2)构造函数，使得，显然是双射函数。(3)对于任意的故，所以满足运算的像=像的运算。由(1),(2),(3)可知，两代数系统是同构的。7.解：当时，零同态；当时，恒等映射，自同态；当时，；当时，；当

6、时，；当时，自同构。8.证明：的个复数根可表示成：(1)与都含有一个二元运算，故为同型的。(2)与定义域大小相同，具备构成双射函数的条件。(3)构造双射函数对于任意的，因此，。由(1),(2),(3)可知，同构于。9．证明：(1)是代数系统到当的同态映射又是的子代数(2)对于，必存在，使得，由于为代数系统到当的同态映射，又是的子代数故对*运算封闭，即对运算满足封闭性。由(1),(2),(3)可知,为的子代数。6.3第141页1．解：解：首先，判断是否是等价关系。任取，由于，因此，是自反的；任取，若，即（），则，，因此是对称的；任取，若，则（），（），于是，，因此，

7、可知是可传递的。因此，是等价关系。其次，判断关于*是否满足代换性质。任取，若，即存在某个，满足则于是由于，因此，，关于*是满足代换性质。综上所述，是上的同余关系。2.解：（1）对于+运算，在二元运算下，任取，验证下式是否成立取，可知满足，，但，即。可知对于运算+，R不满足代换性质。（2）对于运算，在二元运算下，任取，若，，则必然满足于是可得。由取值的任意性可知，对于运算，R满足代换性质。3．证明：(1)对于，有由于对具有代换性质，所以有由此可知：同理可知：因是等价关系，故是可传递的，所以有所以对具有代换性质。(2)对具有代换性质，但对不具有代换性质，因4．设代数系

8、统，为同余